¿Cómo podemos entender un grupo de-plan de acción como una transformación natural

Question

Estoy tratando de entender el párrafo de la Wikipedia en el grupo de-plan de acción (para hacer este párrafo completo o "autónomo", pongo la definición y configuración básica al final del post):

También se pueden considerar (al menos algunos caso especial de) una acción de un grupo functor: la visualización de $G$ como un functor, una acción que le es dado como natural de transformación de la satisfacción de las condiciones análogas a las anteriores.

En detalles, dado un grupo de-plan de acción de la $\sigma$, para cada uno de los morfismos $T \to S$, $\sigma$ determina un grupo de acción $$G(T) \times X(T) \to X(T);$$ i.e., the group $G(T)$ acts on the set of $T$-points $X(T)$.

Por el contrario, si para cada una de las $T \to S$, hay un grupo de acción $$\sigma_T: G(T) \times X(T) \to X(T)$$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $$\sigma: G \times_S X \to X.$$

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Entiendo que la dirección del grupo de-plan de acción de la $\sigma$ a la transformación natural. Pero estoy confundido acerca de cómo determinar $\sigma$ por la transformación natural. Aquí está mi intento fallido:

Sabemos $\sigma$ es la transformación entre el $G(-)\times X(-)$ $X(-)$donde $$G(-)=h_G=\mathrm{Hom}(-,G).$$

Sin embargo, la Yoneda Lema dice $$F(A)\cong \mathrm{Hom}(h_A,F)$$ donde $F\in \mathrm{Fun}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})$.

Tome $F=h_G\times h_X$$A=X$, tenemos $$\mathrm{Hom}(X,G)\times \mathrm{Hom}(X,X)\cong \mathrm{Hom}(h_X,h_G\times h_X).$$ Si las "flechas" está invirtiendo, que es, $$\sigma\in \mathrm{Hom}(h_X,h_G\times h_X)$$ (in fact, it is in $\mathrm{Hom}(h_G\times h_X,h_X)$), so we can find a unique corresponding element in $$\hat{\sigma}\in\mathrm{Hom}(X,G)\times \mathrm{Hom}(X,X).$$

Por la característica universal de la fibra de producto, tenemos $$\mathrm{Hom}(X,G)\times \mathrm{Hom}(X,X)\cong \mathrm{Hom}({X,G\times_S X})$$ Si tratamos a la flecha, como su reverso, de nuevo, tenemos $\sigma$ corresponde a $$G\times_S X\to X$$ (de hecho, debería ser $ X \to G\times_S X$)

Obviamente, es absurdo invertir las flechas. Así que probablemente me estaba perdiendo de algo pequeño, pero importante. O probar mi es totalmente erróneo y sin sentido. Cualquier sugerencia y la respuesta son bienvenidos! Gracias!

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La definición de grupo de-plan de acción es el siguiente:

dado un grupo de $S$ -$G$, a la izquierda de la acción de $G$ $S$- $X$ $S$- morfismos $$\sigma: G \times_S X \to X$$ tal que

• (asociatividad) $\sigma \circ (1_G \times \sigma) = \sigma \circ (m \times 1_X)$ donde $m: G \times_S G \to G$ es el grupo de la ley,
• (unitality) $\sigma \circ (e \times 1_X) = 1_X$ donde $e: S \to G$ es la identidad de la sección de $G$.

Answer 1

El Yoneda lema, cuando se aplica al caso en que $F$ es en sí mismo un representable functor $h_B$, le da un isomorfismo $\mathrm{Hom}(A,B)=h_B(A)\cong \mathrm{Hom}(h_A,h_B)$ (tenga en cuenta que los dos $\mathrm{Hom}$ no se aplican a la misma categoría); esto significa que el Yoneda la incrustación de $$\mathcal{C}\to \mathrm{Fun}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}):A\to h_A=\mathrm{Hom}(-,A)$$ es totalmente fiel, y a veces este hecho es también llamado el Yoneda lema.

En tu caso, tienes una transformación natural $\sigma :h_G\times h_X\Rightarrow h_X$, y como nota, el universal, propiedad de la fibra de producto implica que $h_G\times h_X\cong h_{G\times_S X}$; así también se puede ver $\sigma$ natural tansformation $h_{G\times_S X}\Rightarrow h_X$, y como se explicó anteriormente, este debe ser inducida por un mapa de $G\times_S X\to X$.

A ver que este mapa satisface la asociatividad y unitality axioma, de aplicar la Yoneda lema de nuevo, más precisamente, el hecho de que el mapa de inducir una transformación específicos debe ser único : de hecho, esto implica que en el fin de comprobar que, por ejemplo,$\sigma \circ (1_G \times \sigma) = \sigma \circ (m \times 1_X)$, es suficiente para comprobar que inducen la misma transformación natural $h_G\times h_G\times h_X\Rightarrow h_X$; y esto sólo le siga por el hecho de que cada $$\sigma_T:G(T)\times X(T)\to X(T)$$ es en sí mismo un grupo de acción.