Encontrar una base para un subespacio

Question

Encontrar una base para el subespacio de $\mathbb{R}^4$ que consta de todos los vectores que satisfacen $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$

Mi idea general de lo que hasta ahora es:

$x_1 = -2x_2 +x_3 + 0x_4$

$x_2 = $ gratis

$x_3 = $ gratis

$x_4 = $ gratis

¿Dónde tengo que ir desde aquí? Estoy aún haciendo correctamente?

Answer 1

Lo que tiene es una expresión para todos los vectores del subespacio en forma paramétrica, con tres parámetros:

$$\begin{align*} x_1 &= -2r + s\\ x_2 &=r\\ x_3 &=s\\ x_4 &=t \end{align*}$$ con $r,s,t\in\mathbb{R}$, arbitraria.

Para obtener una base para el espacio, para cada parámetro, ajustar el valor del parámetro igual a $1$ y el resto de parámetros iguales a $0$ para obtener un vector. Cada parámetro se le da un vector. Por lo que el establecimiento $r=1$ $s=t=0$ le da un vector; establecimiento $s=1$ $r=t=0$ le da un segundo vector; establecimiento $t=1$ $r=s=0$ le da una tercera.

Alternativamente, usted puede tratar de reescritura de la paramétrico de la solución en formato vectorial: $$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2r-s\\r\\s\\t\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-2\\1\\0\\0\end{array}\right)r + \cdots$$ (Voy a dejar que se termine).

Answer 2

Sugerencia: dado que usted tiene una restricción, usted puede esperar una imagen tridimensional de subespacio. Usted necesita encontrar tres independiente de vectores en la que el subespacio. $(0,0,0,1)$ está en el subespacio, sino $(0,1,0,0)$ no lo es. ¿Cómo se puede modificar $(0,1,0,0)$ a satisfacer $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$?

Answer 3

Sugerencia: Usted sólo tiene que encontrar el subespacio/conjunto de vectores ortogonales al vector $(1,2,-1,0)^T$.

Editar

Usted puede hacer la proyección ortogonal de la norma base de la $\mathbb{R}^4$$(1,2,-1,0)^{T {\perp}}$.