Cómo entender $\delta$ y $\varepsilon$ en el análisis real?

Question

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo interpretar $\delta$ y $\varepsilon$ media en el análisis real. Mi libro de texto da un ejemplo que demuestra que $\frac{1}{x^2}$ no es uniformemente continua en $(0,1)$ .

Definición de no uniformemente continuo: $(\exists \varepsilon >0)(\forall \delta > 0)(\exists x)(\exists y)$ tal que $|x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| \geq \varepsilon$ .

Dejemos que $\varepsilon = 1$ y $y = x + \frac{\delta}{2}$ y demostrar que $\left\vert f(x) - f(x + \frac{\delta}{2}) \right\vert \geq 1.$

Con un poco de álgebra vemos que $\displaystyle 1 \leq \frac{\delta (2x+\frac{\delta}{2})}{2x^2(x+\frac{\delta}{2})^2}$ .

Ahora bien, en mi libro se afirma que basta con demostrar que la función no es uniformemente continua para $\delta < \frac{1}{2}$ . Mis elecciones de libros $x = \delta$ y luego $\displaystyle \frac{\delta (2\delta+\frac{\delta}{2})}{2\delta^2(\delta+\frac{\delta}{2})^2} = \frac{5}{9\delta^2} > 1$ .

Así que veo que esto demuestra que si $0 < \delta < \frac{1}{2}$ puis $|f(\delta) - f(\delta + \frac{\delta}{2})| > 1$ . Pero la desigualdad $\displaystyle \frac{5}{9\delta^2} > 1$ no es cierto si $\delta = 3/4$ y por definición tiene que ser cierto para todos $\delta > 0$ .

Así que, en general, ¿debo pensar en $\delta$ y $\varepsilon$ como números positivos muy muy cercanos a $0$ ? ¿Y por qué basta con tomar $\delta < 1/2$ ?

Answer 1

Las variables $x$ y $y$ están limitados por $\exists$ en la definición escrita. Por lo tanto, si existe tal $x$ y $y$ para algunos $\delta_0<1/2$ , entonces lo mismo $x$ y $y$ será bueno para cualquier $\delta>\delta_0$ como los dos $|x-y|<\delta$ y $|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon$ se mantendrá.

Por cierto, la parte de la implicación ( $P\implies Q$ ) más bien va a y ' ( $P\land\,\lnot Q$ ) bajo negación: $$ (\exists \varepsilon >0)(\forall \delta > 0)(\exists x)(\exists y): \ (|x-y| < \delta)\, \land \,(|f(x) - f(y)| \geq \varepsilon)\,. $$