¿Cómo podemos recoger $f \in C(0,T;H)$ $f(T) =0$ $f(0) = h$ donde $h$ es arbitrario?

Question

Deje $C(0,T;H)$ ser el espacio de funciones continuas $f:[0,T]\to H$ donde $H$ es de Hilbert.

Para cada $h \in H$, ¿por qué es posible elegir una función de $f \in C(0,T;H)$ tal que $f(0) = h$$f(T) = 0$?

Al $H = \mathbb{R}$, OK, creo que es posible hacer esto como puedo visualizar un gráfico. Pero no estoy seguro sobre el caso general. Cómo demostrarlo?

---

Lo pregunto porque veo que en la prueba a parabólico PDE existencia, uno se $$(u_0-u(0),v(0))_H=0$$ para todos los $v \in C(0,T;H)$$v(T)=0$, y a partir de esto todo el mundo dice que $u(0) = u_0$ desde $v(0)$ es arbitrario. Así que esta es la razón por la que me haga la pregunta.

Answer 1

$H$ es un espacio de Hilbert, por lo que también es un espacio vectorial (sobre $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$). Además, $H$ tiene un producto interior $< , >$.

Elegir un punto de $h \in H$. Considerar el mapa de $t \mapsto th$ donde $t \in \mathbb{R}$ y $h \in H$. $\lVert th - sh \rVert^2 =\ <th-sh, th-sh>$, desde el espacio de Hilbert norma se define el uso de su producto interior. A continuación, $$\lVert th - sh \rVert^2 =\ <th-sh, th-sh>\ =\ (t-s)^2<h,h>\ =\ (t-s)^2 \lVert h \rVert ^2$$ y así $$\lVert th - sh \rVert = |t-s| \lVert h \rVert $$ Esto muestra que la función de $f: \mathbb{R} \to H$ $f(t) = (1 - \frac{t}{T})h$ es continua, porque $$\lim \limits _{s \to t}\lVert f(t) - f(s) \rVert = \lim \limits _{s \to t}\lVert (1 - \frac{t}{T})h - (1 - \frac{s}{T})h \rVert = \lim \limits _{s \to t}\frac{|t-s|}{T} \lVert h \rVert = 0$$ Desde $f$ es continuo, es en $C(0,T;H)$, por definición.