$\bar{\partial}$-Poincaré lema

Question

Esto es $\bar{\partial}$-Poincaré lema: Dado un holomorphic funtion $f:U\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ,localmente en $U$ hay una holomorphic función de $g$: $$\frac{\partial g}{\partial \bar z}=f$$

El autor dice que este es un local de declaración, por lo que podemos suponer $f$ con tamaño compacto y definido en todo el avión $\mathbb{C}$, mi pregunta es ¿por qué ella dice que... gracias.

*Añadido*

$f,g$ están supuestos a ser $C^k$ no holomorphic, por definición $$\frac{\partial g}{\partial \bar z}=0$$ if $g$ se holomorphic...

Answer 1

La declaración se define en un local subconjunto $U$... así que podemos hacer $f$ tiene soporte compacto que se desvanece fuera de $U$, lo que trivialmente se extiende a todo el plano complejo (que se define a ser cero fuera del soporte).

Answer 2

No tengo el libro, y por lo tanto yo no puedo comprobar el estado de cuenta. Sin embargo, creo que la declaración tiene para suavizar $f$.

Básicamente queremos construir/ $g$ a de la siguiente integral:

$$g(z) = \frac{1}{2 \pi i}\int_{w\in \mathbb{C}} \frac{f(w)}{z-w} d\overline{w}\wedge dw$$

Con el fin de hacer esto, $f$ debe ser definida sobre todo el plano complejo.