Sabemos que $$\sum _{k=1}^{\infty } \frac{H_k}{k^3} = \frac{\pi^4}{72}.$$ ¿Existe una forma cerrada para la suma $$S=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^k H_k}{k^3}?$$ Mathematica no da nada parecido a una forma cerrada y no tengo ni idea de si existe.
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- Suma armónica alternante $\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^k}{k^3}H_k$ (7 respuestas )
Respuesta
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Roger Hoover
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Desde entonces: $$ \sum_{k\geq 1} H_k x^k = \frac{-\log(1-x)}{1-x} $$ que tenemos: $$ \sum_{k\geq 1} \frac{H_k}{k+1} x^{k+1} = \frac{1}{2}\log^2(1-x), $$
$$ \sum_{k\geq 1} \frac{(-1)^{k+1}H_k}{k+1} x^{k} = \frac{1}{2x}\log^2(1+x), $$ y como $\int_{0}^{1} x^k\log(x) = -\frac{1}{(k+1)^2}$ se deduce que: $$ S=\sum_{k\geq 1} \frac{(-1)^{k}H_k}{(k+1)^3}=\int_{0}^{1}\frac{\log^2(1+x)\log x}{2x}\,dx \tag{1}$$ para la última integral, Mathematica devuelve: $$ S = \frac{\pi ^4}{48}-\frac{\log^4 2}{12}+\frac{\pi^2\log^2 2}{12} -2 \operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{7}{4}\zeta(3)\log 2 \tag{2}$$ y desde entonces: $$ \sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k}\frac{1}{k+1}}{(k+1)^3}=-1+\frac{7\pi^4}{720}\tag{3} $$ se deduce que:
$$ \sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^k H_k}{k^3}=-\frac{11\pi ^4}{360}+\frac{\log^4 2}{12}-\frac{\pi^2\log^2 2}{12} +2 \operatorname{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{4}\zeta(3)\log 2.\tag{4}$$
