Observancia del Reglamento

Question

Este problema viene de Koblitz del libro Introducción a las Curvas Elípticas y las Formas Modulares página 41 2 del problema y dice

Deje $$f_N(z) = N \Pi(\wp(z)-\wp(u))$$

Donde el producto es distinto de cero $u \in \mathbb{C} / L$ tal que $Nu \in L$, con sólo un $u$ tomado de el par de $u$$-u$. Así que si $N$ es impar, se debe tener ese $f_N(z)$ como un polinomio en $\wp(z)$ debe tener grado $\frac{N^2-1}{2}$.

Mi tarea es tratar de encontrar $f_3(z)$ en términos de $\wp(z)$, para la curva elíptica dada en Weirestraus forma $y^2 = 4x^3-g_2x-g_3$.

Sé que debería ser un grado $4$ polinomio con líderes plazo $3\wp(z)^3$, y que podemos configurar esto como un producto en términos de los generadores de la celosía $\omega_1, \omega_2$, pero me parece que no puede conseguir esto en una función racional sólo en términos de $\wp(z)$ y las constantes $g_2$$g_3$.

No necesito una solución completa, sólo tal vez un empujón en la dirección correcta, estoy tratando de auto enseñarme a los temas en este libro. Gracias!

Answer 1

Sea $u_i$ representantes de orden $3$ puntos modulo $\pm$. Tenga en cuenta que $(\wp(u_i),\wp'(u_i))$ se encuentra en la curva elíptica $y^2 = 4x^3-g_2x-g_3$.

$(x,y)$ En la curva, la coordenada $x$ de su doble es: $$\frac{g_2^2+8 g_2 x^2+32 g_3 x+16 x^4}{16 y^2}$ $

Si $(x,y)$ es una cuestión de orden $3$, entonces la expresión anterior es igual a $x$, que significa $$-g_2^2 -48 g_3 x -24 g_2 x^2 + 48x^4 = 0$ $

$\wp(ui)$ satisface la ecuación anterior, y son distintos, por lo tanto, $$\prod{i=1}^4 (z-\wp(u_i))= z^4 -\frac{g_2}{2} z^2 - g_3 z - \frac{g_2^2}{48}$ $