La álgebra de mentira de los generadores de la transformación proyectiva es isomorfa a la álgebra de mentira de matrices sin dejar huellas.

Question

El general proyectiva de la transformación de la $x$-$y$ plano está dada por $$\tilde{x}=\frac{a_1x+a_2 y+a_3}{a_7x+a_8y+a_9},\quad\tilde{y}=\frac{a_4x+a_5y+a_6}{a_7x+a_8y+a_9}$$ para algunas constantes $a_i\in\mathbb{R}$. A partir de esto, nos encontramos con los generadores infinitesimales $$\begin{array}{lll} X_1=x\partial_x,& X_2=y\partial_x,& X_3=\partial_x, \\ X_4=x\partial_y,& X_5=y\partial_y,& X_6=\partial_y, \\ X_7=-x^2\partial_x-xy\partial_y,& X_8=-xy\partial_x-y^2\partial_y,& X_9=-x\partial_x-y\partial_y \end{array} $$ corresponden respectivamente a cada parámetro $a_i$. Con el colector $$[X_i,X_j]=X_iX_j-X_jX_i,$$ el espacio vectorial generado por $\{X_1,\ldots,X_9\}$ formas una Mentira álgebra. Nos deja denotar este espacio vectorial por $\mathfrak{g}$. Una base para que el espacio podría ser $\{X_1,\ldots,X_8\}$ desde $X_9=-X_1-X_5$.

Quiero mostrar que es isomorfo a la Mentira de álgebra $$\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R}):=\{A\in\mathbf{M}_{3\times 3}(\mathbb{R}):\text{trace}(A)=0\}$$ con colector $[A,B]=AB-BA$, de forma explícita , dando un isomorfismo $$f:(\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R}),[\cdot,\cdot])\longrightarrow(\mathfrak{g},[\cdot,\cdot])$$

Hice un par de intentos que todos fallaron. Desde $X_1+X_5+X_9=0$, podemos ver una especie de correspondencia con traceless matrices, pero no veo la manera de usar que.

EDIT: Para obtener los generadores $X_i$, podemos diferenciar con respecto a cada una de las $a_i$ $\tilde{x}$ $\tilde{y}$ y evaluar en la transformación de la identidad, que es en$a_1=1,a_5=1,a_9=1$$a_2=a_3=a_4=a_6=a_7=a_8=0$. Por ejemplo, para obtener $X_2$, tenemos $$\frac{d\tilde{x}}{da_2}=\frac{y}{a_7x+a_8y+a_9},\quad\frac{d\tilde{y}}{da_2}=0$$ en el que se evalúa a$y$$0$, respectivamente, de modo que $X_2=y\partial_x+0\partial_y=y\partial_x$.

Answer 1

Sobre cualquier campo de $k$, el grupo de $G=GL_{n+1}(k)$ actúa en $Pk^n$ lineal a través de los mapas en $k^{n+1}$, y el cociente mapa de $q:k^{n+1}-\{0\} \rightarrow Pk^n$, cuyas fibras son líneas (con $0$ eliminado). En las matrices, en las afín subconjunto de identificación personal con homogéneo coords $\{x_i\}$$x_{n+1}=1$, esto es $$ \{g_{ij}\}\cdot \pmatrix{x_1 \cr x_2 \cr \vdots \cr x_n \cr 1} \;=\; \pmatrix{ g_{11}x_1+g_{12}x_2+\ldots+g_{1,n}x_n+g_{1,n+1}\cdot 1 \cr g_{21}x_1+g_{22}x_2+\ldots+g_{2,n}x_n+g_{2,n+1}\cdot 1 \cr \vdots \cr g_{n+1,1}x_1+g_{n+1,2}x_2+\ldots+g_{n+1,n}x_n+g_{n+1,n+1}\cdot 1 } $$ Renormalizing para obtener el representante con el último coordinar $1$, esto es $$ g\cdot x \;=\; \pmatrix{ {g_{11}x_1+g_{12}x_2+\ldots+g_{1,n}x_n+g_{1,n+1}\cdot 1 \más g_{n+1,1}x_1+g_{n+1,2}x_2+\ldots+g_{n+1,n}x_n+g_{n+1,n+1}\cdot 1 } \cr \vdots \cr {g_{n,1}x_1+g_{n,2}x_2+\ldots+g_{n,n}x_n+g_{n,n+1}\cdot 1 \más g_{n+1,1}x_1+g_{n+1,2}x_2+\ldots+g_{n+1,n}x_n+g_{n+1,n+1}\cdot 1 } \cr 1 } $$ Visiblemente el centro de los actos trivialmente aquí, y $SL_{n+1}(k)$ mapas finito-a-uno a $PGL_{n+1}(k)$, así que la Mentira álgebras son los mismos. Es decir, la proyectiva-transformación afín grupo $PGL_{n+1}(k)$ tiene la misma Mentira álgebra como $SL_{n+1}(k)$, descrito sin embargo, a uno le gusta con más detalle.

Answer 2

Creo que un poco mejor la notación resuelve el problema. Vamos $$ \begin{array}{lll} Y_{1,1} = x\partial_x, & Y_{1,2} = x\partial_y, & Y_{1,3} = -x^2\partial_x - xy\partial_y \\ Y_{2,1} = y\partial_x, & Y_{2,2} = y\partial_y, & Y_{2,3} = -xy\partial_x - y^2\partial_y\\ Y_{3,1} = \partial_x, & Y_{3,2} = \partial_y, & Y_{3,3} = -x\partial_x - y\partial_y. \end{array} $$ Esta es esencialmente la transposición de la configuración, pero indexadas en forma de una matriz con un par de coordenadas. En otras palabras, $$ Y_{i,j} = \partial_{a_{i,j}} = \frac{\partial x}{\partial a_{i,j}} \partial_x + \frac{\partial y}{\partial a_{i,j}} \partial_y \qquad \textrm{para cada uno de los } 1 \le i,j \le 3. $$ Ahora, los generadores $Y_{i,j}$ $\mathfrak{g}$ se comportan como matriz de las unidades bajo el colector de soporte. En otras palabras, $$ [Y_{i,j}, Y_{k,l}] = \delta_{j,k}Y_{i,l} - \delta_{l,i}Y_{k,j}. $$ Su isomorfismo es sólo el mapa de identidad.

Answer 3

Idea en bruto: considerar el plano proyectivo $PR^2$. Una protección transformación en $R^2$ corresponde a una transformación proyectiva en $PR^2$. Desde $Aut(PR^2)= {T\in M{3\times 3}| \det T=1}$, tiene $\mathfrak{aut}(PR^2)={t\in M{3\times 3}| \operatorname{tr}(t)=0}$.