La prueba de anillo

Question

Así es como el artículo de la wikipedia en sub-anillo define la sub-anillo de prueba

La sub-anillo de prueba indica que, para cualquier anillo de $R$, un subconjunto no vacío de a $R$ es un sub-anillo si es cerrado bajo la suma y la multiplicación, y contiene la identidad multiplicativa de $R$.

Cuando se siga el enlace para la sub-anillo de prueba, se establece de la siguiente manera

En álgebra abstracta, el sub-anillo de prueba es un teorema que establece que para cualquier anillo, un subconjunto no vacío de anillo que es un sub-anillo si es cerrado bajo la multiplicación y la resta. Tenga en cuenta que aquí que los términos de anillo y sub-anillo se utilizan sin necesidad de un elemento de identidad multiplicativa.

Mi pregunta es, es la primera declaración del sub-anillo de prueba correcta? Esta es también la forma de un sub-anillo está "definido" en Atiyah-Macdonald. Parece incorrecta a mí como $\mathbb{R}_+$ satisface esas condiciones y no es un sub-anillo a menos que me falta algo.

En cuanto a las respuestas que siento que debo aclarar mi pregunta. Cierre bajo la resta y la multiplicación (con el añadido de la disposición de que el subconjunto determinado contener la identidad dependiendo de cómo se definen los anillos), garantiza un sub-anillo, como en la segunda instrucción. Me siento cómodo con esta declaración como sé que cierre bajo la resta para un subconjunto de un grupo (por escrito de forma aditiva) da un subgrupo. Mi pregunta es si la primera afirmación es correcta - es la clausura en virtud de la adición y la multiplicación suficiente?

Answer 1

Sí, tienes razón: la versión de la sub-anillo de prueba se encuentra en el artículo de wikipedia sobre "sub-anillo" era defectuosa, mientras que el artículo sub-anillo de prueba tiene una afirmación correcta.

Me acaba de editar el primer artículo de la wikipedia para que se lea como sigue:

"La sub-anillo de prueba indica que, para cualquier anillo R, un subconjunto de R es un sub-anillo si contiene la identidad multiplicativa de R y es cerrado bajo la resta y la multiplicación.'

Espero que todos estarán de acuerdo en que esta es una declaración apropiada.

Hay una ligera discrepancia en que el artículo en subrings explícitamente se supone que estamos trabajando en la categoría de anillos (en la que tenemos una identidad multiplicativa que todos los homomorphisms mucho respeto), mientras que el artículo sobre la sub-anillo funciona la prueba en la categoría de generadores de números aleatorios (es decir, no puede haber una identidad multiplicativa e incluso si no es necesario no ser conservados por homomorphisms). En la categoría de generadores de números aleatorios, uno debe de estado de la nonemptiness explícitamente, mientras que en la categoría de anillos que se está garantizada por la presencia de la identidad multiplicativa.

Si alguien tiene más ideas para la mejora de cualquiera de estos dos artículos, por favor hágamelo saber. O más bien, por favor, seguir adelante y aplicar a ellos, ser audaz, como dicen en que otro sitio, pero sería agradable volver aquí y cuéntanos lo que te he hecho.

Answer 2

SUGERENCIA $\rm\ \ r,s\in R\ \Rightarrow\ r-r\ =\ 0\in R\ \Rightarrow\ 0-r\ =\: -r\in R\ \Rightarrow\ s-(-r)\: =\ s+r\in R\ $

Esto es sólo el subgrupo criterio que se aplica para el grupo aditivo de $\rm\:R\:.\:$ también viene en la mano por los ideales, y la aritmética de la divisibilidad de las relaciones.

Como su contraejemplo muestra, la primera afirmación es incorrecta. Sin embargo, hay un personaje de revisión: requieren que el subconjunto contiene $\:-1\:$ en lugar de $\:1\:$. Alternativamente, requieren también ser cerrado bajo la negación (inversos aditivos). Probablemente quiso decir la resta, no suma. Un error similar aparece en Greuel y Pfister: Un singular introducción al álgebra conmutativa, p. 1, donde se define un sub-anillo como un subconjunto que contiene $1$ que es cerrado bajo la inducida por el anillo de operaciones. Pero la negación no aparece expresamente como un anillo de operación en su definición de un anillo. Más bien, similar a la de Atiyah y MacDonald, dicen que "R, junto con la adición, es un grupo abelian". Tal vez "además" está destinado a indicar el total de aditivos de la estructura del grupo, de modo que el anillo se supone que para heredar la negación de la operación (o el equivalente de axiomas para la recíproca) de la abelian estructura de grupo, cuando se hereda la operación de adición.

Answer 3

Parece que el problema radica en lo que significa ser cerrado bajo la suma. Mi interpretación de ser cerrado bajo la adición es que si restringe la operación binaria de la suma del subconjunto que quieres estudiar, a continuación, obtener una bien definida la función.

Decir, si usted tiene un anillo de $(R, +, \cdot)$, entonces si tenemos un subconjunto $S \subseteq R$, me gustaría interpretar $S$ ser cerrado bajo la adición heredado de $R$ lo que significa que si $a, b \in S$$a + b \in S$, o que la imagen del mapa

$$+ : S \times S \longrightarrow R$$

que los resultados de la restricción de la adición a los elementos de la $S$ se encuentra en $S$, es decir, que $+(S \times S) \subseteq S$ (sin embargo, extraña que la notación puede parecer). Así que si esto es lo es lo que significa para $S$ a ser cerrado bajo la suma, entonces, ciertamente, $\mathbb{R}_{+}$ según los requerimientos en la primera formulación de la "sub-anillo de prueba" que le dan, pero no va a ser un sub-anillo de $\mathbb{R}$, ya que no contienen los inversos aditivos.

Lo mismo ocurriría en el caso de considerar $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$.

Acabo de comprobar mi copia de Atiyah-Macdonald y, de hecho, definen un sub-anillo de esta manera, así que tal vez es sólo un malentendido o tal vez una falta de cuidado al definir un sub-anillo.