Teorema de la divergencia en la integral de volumen

Question

Tenemos una ecuación diferencial parcial \begin {Ecuación} \nabla \cdot (p_1^2 \nabla\alpha )=0\,. \end {Ecuación}

Pregunta: a partir de esta ecuación, ¿cómo puedo escribir la siguiente condición?

\begin {Ecuación} \int_\Omega\alpha\nabla \cdot (p_1^2 \nabla\alpha )= \int_ { \partial\Omega } \alpha p_1^2 n \cdot\nabla\alpha - \int_\Omega p_1^2( \nabla\alpha )^2=0 \,. \end {Ecuación} $p_1$ y $\alpha$ son la variable dependiente de la posición.

Answer 1

Parece que se trata de una aplicación de la Teorema de la divergencia asumiendo que todo está bien: $$ \int_{\Omega} \nabla \cdot F = \int_{\partial \Omega} F\cdot n\,dS, $$

Dejemos que $F = \alpha p \nabla \alpha$ , donde $p = p_1^2$ . La regla del producto se lee para un vector $v$ y un escalar $\phi$ : $$ \nabla \cdot (\phi v) = \nabla \phi \cdot v + \phi\nabla \cdot v, $$ por lo tanto tenemos:

$$ \int_{\Omega} \nabla \cdot (\alpha p \nabla \alpha) = \int_{\Omega} \Big(\alpha \nabla \cdot (p \nabla \alpha) + p \nabla \alpha \cdot \nabla \alpha \Big) = \int_{\partial \Omega} \alpha p \nabla \alpha\cdot n\,dS, $$ y esto es $$ \int_{\Omega}\alpha \nabla \cdot (p \nabla \alpha) = \int_{\partial \Omega} \alpha p (\nabla \alpha\cdot n)\,dS - \int_{\Omega}p \nabla \alpha \cdot \nabla \alpha , $$ reescribir $\nabla \alpha \cdot \nabla \alpha = |\nabla \alpha|^2$ y por la ecuación original $\nabla \cdot (p \nabla \alpha) = 0$ la parte izquierda de lo anterior desaparece, por lo que tenemos: $$ \int_{\partial \Omega} \alpha p (\nabla \alpha\cdot n)\,dS - \int_{\Omega}p |\nabla \alpha|^2 = 0 . $$

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O simplemente puedes memorizar la fórmula de integración por partes derivada del teorema de la divergencia: $$ \int_{\Omega} u\nabla \cdot v = -\int_{\Omega} \nabla u\cdot v + \int_{\partial \Omega} u(v\cdot n)\,dS. $$