Número de valores reales diferentes de $x$ que satisfacen $17^x+9^{x^2} = 23^x+3^{x^2}.$

Question

Número de valores reales diferentes de $x$ que satisfacen $17^x+9^{x^2} = 23^x+3^{x^2}.$

$\bf{My\; Try::}$ Utilizar el método de golpear y probar $x=0$ y $x=1$ son la solución de la ecuación exponencial anterior.

Ahora calcularemos si existe o no otra solución.

Si $x\geq 2\;,$ Entonces $17^x+9^{x^2}>9^{x^2} = (6+3)^{x^2}>6^{x^2}+3^{x^2} = (6^x)^x+3^{x^2}>23^x+3^{x^2}\;,$

bcz $(6^x>23)\; \forall x\geq 2.$

Así que no hay solución en $x\in \left[2,\infty\right)$

Ahora no entendí cómo puedo calcular en $x<0$ y $0<x<1$ .

Ayúdenme, gracias

Answer 1

$$17^x+9^{x^2} = 23^x+3^{x^2}$$

Claramente $0,1$ son las dos raíces. Preferiría dibujar el gráfico a grandes rasgos:

Answer 2

Utilizar las derivadas, es estudiar las funciones $ f, g: R \rightarrow R, f(x)= 9^{x^2}-3^{x^2}, g(x)=23^x-17^x$ y se encuentra:

1. $f$ tiene un punto mínimo en el intervalo $(0, 1)$ y los límites a $+\infty$ , $-\infty$ son iguales a $+\infty$ ;
2. $g$ tiene un punto mínimo negativo y se limita a $-\infty$ es $0$ y a $+\infty$ es $+\infty$ .

Por estas razones y teniendo en cuenta que $f$ crece más rápido que $g$ infinito, se deduce que los gráficos sus únicos dos puntos en común.

Conclusión: La ecuación tiene exactamente dos raíces reales.