Lagrange ' teorema s

Question

Estimado, no entiendo coset izquierdo y Teorema de Lagrange... Estoy trabajando en un proyecto así que no dudes en escribirme todo lo que me podría ayudar a entender mejor... milica de montenegro

Answer 1

Supongamos $G$ es un grupo, y $H$ es cualquier subgrupo de $G$. Me gustaría tratar de definir algo similar a la "congruencia modulo $n$" para los números enteros, pero para este arbitraria grupo $G$ y de los subgrupos $H$.

En los números enteros, podemos decir que $a\equiv b\pmod{m}$ si y sólo si $a-b$ es un elemento del subgrupo $m\mathbb{Z}$. Así que vamos a intentar algo similar para$H$$G$, teniendo en cuenta que el $G$ no necesita ser abelian.

Yo no voy a asumir el grupo es finito hasta que me lo dicen explícitamente.

Definición. Deje $G$ ser un grupo y vamos a $H$ ser un subgrupo. Si $x,y\in G$, podemos decir que el $x$ $y$ son congruentes en el derecho modulo $H$ si y sólo si $xy^{-1}\in H$. Escribimos esto $x\equiv_H y$.

La proposición. $\equiv_H$ es una relación de equivalencia en $G$.

Prueba. Tenemos que mostrar que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva. Deje $x\in G$. A continuación, $xx^{-1} = e\in H$ (desde $H$ es un subgrupo, por lo tanto, contiene $e$), por lo $x\equiv_H x$.

Ahora vamos a $x,y\in G$, y supongamos que $x\equiv_H y$; queremos demostrar que las $y\equiv_H x$ mantiene así. Desde $x\equiv_H y$,$xy^{-1}\in H$. Desde $H$ es un subgrupo, es cerrado bajo tomando inversos, por lo $(xy^{-1})^{-1} = (y^{-1})^{-1}x^{-1} = yx^{-1}\in H$. Por definición, esto significa que $y\equiv_H x$, como se desee.

Por último, supongamos que el $x,y,z\in G$ y $x\equiv_H y$$y\equiv_Hz$. Queremos mostrar que $x\equiv_H z$. La primera congruencia implica $xy^{-1}\in H$; la segunda, que $yz^{-1}\in H$. Desde $H$ es un subgrupo, es cerrado bajo los productos, por lo $(xy^{-1})(yz^{-1})=xz^{-1}\in H$, por lo tanto $x\equiv_H z$, como se desee. QED

Observe que las tres propiedades básicas de un subgrupo son precisamente necesarios para las tres propiedades básicas de una relación de equivalencia: $H$ contiene la identidad se utiliza para la reflexividad; $H$ es cerrado bajo la recíproca es utilizado para la simetría; y $H$ es cerrado bajo los productos que se utilizan para la transitividad.

Ahora, desde la $\equiv_H$ es una relación de equivalencia en $G$, por el Teorema Fundamental de las Relaciones de Equivalencia, $\equiv_H$ induce una partición en $G$; es decir, $G$ se divide en partes disjuntas, uno para cada clase de equivalencia. Nuestro siguiente objetivo es averiguar si tenemos en la descripción de las clases de equivalencia, que es independiente de la relación de equivalencia (esto es muy útil en general). De hecho, podemos hacer:

Teorema. Deje $G$ ser un grupo y vamos a $H$ ser un subgrupo; deje $x\in G$. La clase de equivalencia de a $x$ por la relación $\equiv_H$ es igual al conjunto $Hx = \{hx\mid h\in H\}$. Es decir, $$[x]_H = \{y\in G\mid x\equiv_Hy\} = \{hx\mid h\in H\} = Hx.$$

Prueba. Tenemos que mostrar que cada elemento en $Hx$$[x]_H$, y que cada elemento de a$[x]_H$$Hx$.

Deje $z\in Hx$; lo que significa que $z = hx$ algunos $h\in H$. Entonces $$xz^{-1} = x(hx)^{-1} = x(x^{-1}h^{-1}) = h^{-1}\in H,$$ por tanto, por definición tenemos que $x\equiv_H z$. Por lo tanto, si $z\in Hx$,$z\in[x]_H$. Por lo $Hx\subseteq[x]_H$.

Por el contrario, vamos a $y\in [x]_H$. A continuación,$x\equiv_H y$, lo $xy^{-1}\in H$. Por lo tanto, existe $h\in H$ tal que $xy^{-1}=h$. Multiplicando a la derecha, por $y$ obtenemos $x=hy$, y multiplicando por la izquierda por a $h^{-1}$ obtenemos $h^{-1}x = y$. Desde $h^{-1}\in H$, obtenemos $y = h^{-1}x \in Hx$. Por lo tanto, si $y\in[x]_H$$y\in Hx$, lo $[x]_H\subseteq Hx$.

Hay que poner las dos inclusiones juntos, llegamos a la conclusión de que $[x]_H = Hx$ por cada $x\in G$. QED

Corolario. Deje $G$ ser un grupo, $H$ a un subgrupo. Entonces:

1. $Hx$ es no vacío para cada una de las $x\in G$.
2. $\displaystyle G = \mathop{\cup}_{x\in G} Hx$.
3. Para todos los $x,y\in G$ si $Hx\cap Hy\neq\emptyset$,$Hx=Hy$.

Prueba. Esto se deduce del hecho de que, desde los conjuntos de la forma $Hx$ son exactamente las clases de equivalencia de la relación de equivalencia $\equiv_H$, forman una partición de $G$. QED

Corolario. Deje $G$ ser un grupo, $H$ a un subgrupo. Para todos $x,y\in G$, $x\equiv_H y$ si y sólo si $Hx = Hy$.

Damos los conjuntos de la forma $Hx$ un nombre de:

Definición. Deje $G$ ser un grupo, $H$ a un subgrupo, y $x\in G$. El conjunto $$Hx = \{ hx\mid h\in H\}$$ se llama el derecho coset de $x$ modulo $H$.

"Coset" es la abreviatura de "congruencia conjunto", porque el derecho coset es exactamente el conjunto de todas las cosas que son congruentes sobre el derecho a la $x$ modulo $H$.

En general, cuando se tiene una relación de equivalencia, las clases de equivalencia puede tener diferentes tamaños. Pero no es así con estos equivalencia relación: porque se obtienen mediante la toma de todos los posibles productos con elementos de $H$, todas las clases de equivalencia son bijectable.

Teorema. Deje $G$ ser un grupo y $H$ a un subgrupo. Deje $x,y\in G$ ser cualquiera de los dos elementos. Luego hay un bijection entre los conjuntos de $Hx$$Hy$, dado por $$\begin{align*} \psi\colon Hx &\to Hy\\ hx&\mapsto hy \end{align*}$$

Prueba. Para mostrar que $\psi$ es uno-a-uno, deje $hx,h'x\in Hx$ ser tal que $\psi(hx)=\psi(h'x)$. A continuación,$hy = h'y$. Multiplicando a la derecha, por $y^{-1}$, obtenemos $h=h'$, lo $hx=h'x$. Por lo tanto, $\psi$ es uno-a-uno.

Para mostrar $\psi$ a, vamos a $hy\in H$. A continuación,$hx\in Hx$, e $\psi(hx)=hy$. Por lo tanto, $\psi$ es de uno a uno y sobre, por lo que es un bijection. QED

Ahora, supongamos que $G$ es finito, y $H$ es un subgrupo. A continuación, la relación de equivalencia $\equiv_H$ particiones $G$ en clases de equivalencia; cada clase de equivalencia es de la forma $Hx$ algunos $x\in G$, y por el teorema anterior, todos ellos son bijectable el uno con el otro, para que todas tengan el mismo tamaño, $k$. Si hay $m$ distintas clases de equivalencia, cada uno de tamaño $k$, y que la partición de $G$, entonces el tamaño de $G$ es la suma de los tamaños de las distintas clases de equivalencia; es decir, $|G|=mk$.

Pero, ¿qué es $k$? $k$ es el tamaño de las clases de equivalencia; todos ellos son del mismo tamaño. En particular, la equivalencia de la clase $He$ tiene el tamaño de $k$. Pero, ¿qué es $He$? Bien, $$He = \{ he\mid h\in H\} = \{h\mid h\in H\} = H.$$ Es decir, $He = H$, por lo que el $H$ sí tiene el tamaño de $k$.

Desde $|G|=mk = m|H|$, lo que significa que $|H|$ divide $|G|$. Que es:

Corolario [del Teorema de Lagrange]. Si $G$ es un grupo finito, y $H$ es un subgrupo, entonces el tamaño de $H$ divide el tamaño de $G$.

Usted podría preguntar si se puede definir una "congruencia en la izquierda"; sí, se puede. Podemos decir $x$ $y$ son congruentes a la izquierda modulo $H$ si $x^{-1}y\in H$, y escribimos $x{}_H\equiv y$. Si procedemos como en el anterior, entonces tenemos que la clase de equivalencia de a $x$ modulo $H$ en el de la izquierda es $xH$ (en lugar de $Hx$); el proceso es completamente análogo; estos son llamados a la izquierda cosets de $H$. Resulta que hay un bijection entre la izquierda y la derecha cosets. Uno se siente tentado a definir el bijection mediante el envío de la coset $xH$ a la coset $Hx$, pero resulta que esto no está bien definida (puede tener $xH = yH$, pero también ha $Hx\neq Hy$). Sin embargo, la cartografía $xH$ a la coset $Hx^{-1}$ funciona (lo voy a dejar a usted para el trabajo), por lo que el número de la izquierda cosets y el número de la derecha cosets de $H$ $G$ son los mismos, y el tamaño de toda la izquierda coset es el mismo que el tamaño de cualquier derecho coset de $H$. En general, la relación de equivalencia "congruentes a la izquierda modulo $H$" no es la misma como la relación de equivalencia "congruentes en el derecho modulo $H$"; cuando ellos son la misma es interesante por derecho propio, y corresponde al caso en el $H$ es un subgrupo normal, que tiene un montón de consecuencias importantes, todos los de su propia que sin duda, descubrir pronto.

Answer 2

Todavía no puedo escribir comentarios, así que voy a escribir una respuesta.

Has probado a leer:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27stheorem (group_theory

Tal vez lo encuentras confuso son que izquierda cojunto no es subgrupos, a los subconjuntos del grupo. No dan muchas pistas acerca de sus preocupaciones reales...