Que $G$ ser un grupo de orden $p^4$ para $p$ prime. Demostrar que $G'$ es abeliano

Question

Que $G$ ser un grupo de orden $p^4$ para $p$ prime. Demostrar que $G'$ es abelian $G'$ Dónde está el subgrupo conmutador de $G$.

Answer 1

Desde el centro de una $p$-grupo no trivial, entonces se sigue que todo grupo de orden $p^2$ es abelian. Y así es todo grupo de orden $1$ o $p$. Por lo que es suficiente para mostrar que el $G'$ es de orden $1$, $p$ o $p^2$.

Desde $G$ tiene un subgrupo normal $N$ orden $p^2$ (en realidad cualquier $p^k$) , a continuación, $G/N$ es de orden $p^2$. Pero ya hemos establecido que los grupos de orden $p^2$ son abelian. Desde $G/N$ es abelian, a continuación, $G'\subseteq N$ significado $|G'|\leq p^2$. $\Box$

Answer 2

Utilizando alguna teoría de finito $p$-Grupo: puesto que es de $G$ % soluble $G' \subsetneq G$, por lo tanto, $|G:G'| \geq p$. Pero $|G:G'|=p$ implica que $G/G'$ es cíclico y por lo tanto sería cíclico $G$. (Prueba: mira el subgrupo de Frattini $\Phi(G)=G'G^p$. $G/G'$ cíclico implica $G/\Phi(G)$ siendo cíclico, decir $G/\Phi(G)=\langle \bar g\Phi(G) \rangle$. Y recordar que $\Phi(G)$ son no generadores. Esto implica que el $G=\langle g \rangle\Phi(G)$ y desde $\Phi(G)$ es no generadores, $G=\langle g \rangle$ es cíclico). Por lo tanto suponemos $|G'| \leq p^2$ y grupos de orden dividiendo $p^2$ son abelian.