Isomorfismos de anillos

Question

Así que me piden que demuestre o refute si los siguientes son isomorfos entre sí como anillos:

• $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$
• $2\mathbb{Z} /8\mathbb{Z}$
• $3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$
• $\mathbb{R}/4\mathbb{R}$

Ahora, en cuanto a $\mathbb{R}/4\mathbb{R}$ va, estoy seguro de que este no es isomorfo a ninguno de los otros ya que $4\mathbb{R}$ contiene un elemento de unidad y, por tanto, el ideal es la totalidad de $\mathbb{R}$ .

Sé que $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}:=\{0,1,2,3\} \cong \mathbb{Z}_4$ , $2\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} :=\{0,2,4,6\}$ , $3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}:=\{0,3,6,9\} $ . Ahora bien, como sólo hay dos grupos hasta el isomorfismo de orden 4, supongo que demostrar que 2 ó 3 es isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ es suficiente para demostrar que no es isomorfo, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Puesto que tenemos que $4\mathbb{R}$ contiene un elemento unidad, tenemos por tanto $\mathbb{R}/4\mathbb{R}=\mathbb{R}/\mathbb{R}=\{0\}$ . Esto es suficiente para decir que no puede ser isomorfo a los otros tres.

Ahora, $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \ncong 2\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ desde $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_4$ y por tanto tiene elemento unidad $1$ mientras que a $2\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ no tiene un elemento de unidad. Dado que el isomorfismo preserva las propiedades estructurales, no pueden ser isomorfos.

Similarmente, $3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \ncong 2\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ con el mismo argumento anterior, donde $9$ es el elemento unitario en $3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ .

A continuación, comprobamos si $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \cong 3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ .

$\phi: 0 \to 0$

$\phi: 1 \to 9$

$\phi: 2 \to 6$

$\phi: 3 \to 3$

Es claramente una biyección y comprobando que la propiedad de homomorfismo para anillos se cumple, tenemos un isomorfismo de anillos.

Gracias a todos en los comentarios por los consejos sobre cómo proceder.