Dadas $\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$, evaluar $\int_0^{\infty}e^{-a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}}dx $

Question

<blockquote> <p>Dadas $$\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $ evaluar: $$\int_0^{\infty}e^{-a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}}dx. $ $</p> </blockquote> <p>Encuentro que %#% $ #%</p> <p>por lo tanto: $$\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2 = a^2x^2+2ab+\frac{b^2}{x^2}$ $</p> <p>pero luego no encuentro ninguna pista.</p>

Answer 1

Suponiendo que $a,b>0$, tienes: %#% $ #% a través de la sustitución $$ I= e^{-2ab}\int{0}^{+\infty}e^{-(ax-b/x)^2}\,dx = e^{-2ab}\int{-\infty}^{+\infty}\frac{1+\color{blue}{\frac{z}{\sqrt{4ab+z^2}}}}{2a}\,e^{-z^2}\,dz $, pero contribute dada por el término de azul se desvanece por la simetría, por lo tanto:

$ax-\frac{b}{x}=z$$