Comprensión de la prueba de una desigualdad

Question

Básicamente, el método aplicado es el siguiente, se corrige $a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$, si: $$f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$$ Esta desigualdad se cumple para todo x, entonces resumiendo la desigualdad a la que nos dará la conclusión deseada.

Que es básicamente lo que se dijo antes el ejemplo, ahora, tengo algunas preguntas!

1) ¿por Qué tenemos $a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$? ¿por qué es esto relevante?

2) Cuando se aplica esta "línea tangente truco" está claro que a él elige $a=1$, hay una razón para este valor? (Quiero decir, no debe ser una razón, puesto que uno tiene que bash a través de un montón de álgebra, nadie haría eso si no tiene una buena razón para hacerlo...)

3) La última desigualdad se cumple para $a \ge- \frac{1}{2}$, no en todas, así que ¿por qué hace esto todavía satisfacer a nuestros inicial, el método de la restricción de 'x'?

Edit: OP olvidó mencionar que las variables son positivas

Answer 1

Vemos que la igualdad es si <span class="math-container">$a=b=c=1$</span>, así que escriba una tangente sobre <span class="math-container"> $$f(x) = {(3-2x)^2\over x^2+(3-x)^2}$$ at <span class="math-container">$x_0 = 1$</span> and <span class="math-container">$y_0 = 1 del artículo f = 1/5$</span>. This line has equation <span class="math-container"> $y = {1\over 5}- {18\over 25}(x-1)$</span></span>

Ahora Compruebe si <span class="math-container">$f(x)\geq y$</span> para todas las <span class="math-container">$x\in (0,3)$</span> y, por tanto, una conclusión.