¿Es la transformada de Fourier de una función continua necesariamente en $L^{\infty}$?

Question

Este es un seguimiento a la presente pregunta anterior. Dada una (digamos continua) la función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ tal que la transformada de Fourier $$\widehat{f}(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i xy} dx$$ existe para todas las $y \in \mathbb{R}$, no se sigue que la $\widehat{f} \in L^{\infty}$ es decir, hay una constante $C$ (dependiendo $f$) tal que $\vert \widehat{f}(y)\vert \le C$ para todos los $y$?

Esto podría ser trivialmente cierto si $f \in L^1$, pero no estamos suponiendo que. Por supuesto, esto también significa que las integrales no debería ser absolutamente convergente. En lugar de ello requerimos de convergencia sólo en el sentido de que tanto $\lim_{T\to \infty} \int_0^T$ e $\lim_{T \to \infty} \int_{-T}^0$ existen.

Answer 1

No es necesario que $\hat{f} \in L^\infty$.

Considere la posibilidad de la transformada de Fourier se define como $\hat{f}(y) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{iyx} \, dx$. Podemos construir un contraejemplo donde $\hat{f}(m) \to \infty$ como $m (\in \mathbb{N}) \to \infty$, utilizando la función

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x) = \sum_{n=1}^\infty\frac{n e^{-inx}}{x}\sin\left[(2n^3)^{-1}x \right] \chi_{[-n^4,n^4]}(x)$$

La serie converge uniformemente desde $|f_n(x)| \leqslant \frac{1}{2n^2}$ y que podemos pasar de la suma y la integral para obtener

$$\hat{f}(m) = \sum_{n=1}^\infty n\int_{-n^4}^{n^4}\frac{e^{i(m-n)x}\sin[(2n^3)^{-1}x]}{x} \, dx$$

Tenga en cuenta que

$$\frac{e^{i(m-n)x}\sin[(2n^3)^{-1}x]}{x} = \frac{\cos[(m-n)x] \sin[(2n^3)^{-1}x]}{x}+ i \frac{\sin[(m-n)x]\sin[(2n^3)^{-1}x]}{x}$$

El segundo término en el lado derecho es una función impar cuya integral sobre la $[-n^4,n^4]$ se desvanece y el primer término se reduce a

$$\frac{\cos[(m-n)x] \sin[(2n^3)^{-1}x]}{x} = \frac{\sin[(|m-n| + (2n^3)^{-1})x] - \sin[(|m-n| - (2n^3)^{-1})x]}{2x}$$

Ya que esta es una función par, la integral sobre la $[-n^4,n^4]$ es el doble de la integral sobre la $[0,n^4]$, y la tenemos con $\alpha_{m,n} = |m-n|$ e $\beta_n = (2n^3)^{-1}$,

$$\tag{*}\hat{f}(m) = \sum_{n=1}^\infty n\int_0^{n^4}\frac{\sin[(\alpha_{m.n} + \beta_n)x] - \sin[(\alpha_{m,n} - \beta_n)x]}{x} \,\,\, dx \\ = 2m \int_0^{m^4} \frac{\sin(\beta_mx)}{x} \, dx + \sum_{n\neq m} n\int_0^{n^4}\frac{\sin[(\alpha_{m,n} + \beta_n)x] - \sin[(\alpha_{m,n} - \beta_n)x]}{x} \, dx$$

Tenemos la conocida resultados (donde $c > 0$):

$$\tag{**}\int_0^z \frac{\sin (cx)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} - \int_z^\infty \frac{\sin (cx)}{x} \, dx , \\ - \frac{2}{cz} \leqslant \int_z^\infty \frac{\sin(cx)}{x} \, dx \leqslant \frac{2}{cz}$$

Desde $\alpha_{m,n} - \beta_n = |m-n| - \beta_n \geqslant 1 - 1/2 > 0$ si $m \neq n$, podemos aplicar (**) a (*) y obtener

$$\hat{f}(m) > \pi m - 8 - \sum_{n \neq m} \frac{2n}{n^4}\left(\frac{1}{\alpha_{m,n}+\beta_n} + \frac{1}{\alpha_{m,n} - \beta_n} \right)$$

Desde

$$- \frac{1}{\alpha_{m,n} + \beta_n} - \frac{1}{\alpha_{m,n} - \beta_n}\geqslant - \frac{1}{1 + 0}- \frac{1}{1 - 1/2} = -3,$$

tenemos

$$\hat{f}(m) > \pi m - 8 - 6\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3},$$

y $\hat{f}(m) \to \infty$ como $m \to \infty$.