¿Puede un espacio métrico no compacto tener una compactificación de Hausdorff maximalmente metrizable?

Question

Sabemos que la compactación de la piedra $(h, \beta X)$ de un espacio de Tychonoff $X$ es su mayor (en particular, una máxima) compactación de Hausdorff, en el sentido de que si $(k,\gamma X$ ) es cualquier otra compactación de Hausdorff, entonces existe un mapa continuo $f:\beta X \rightarrow \gamma X$ tal que $fh=k$ .

¿Y si me restrinjo a considerar sólo todo metrizable ¿Compactaciones de Hausdorff? Para fijar ideas, digamos $X$ es un espacio métrico no compacto. (En particular $\beta X$ no será metrizable). ¿Existe una compactación de Hausdorff maximalmente metrizable de $X$ ?

Supongo que no: si nos dan cualquier compactificación Hausdorff metrizable de un espacio métrico no compacto $X$ podemos hacer otra compactación Hausdorff metrizable que sea mayor (en el sentido del primer párrafo anterior).

Answer 1

No. Deja que $X$ sea un espacio métrico no compacto y sea $Y$ sea una compactación metrizable de $X$ . Elige un punto $y\in Y$ y una secuencia $(x_n)$ de puntos distintos en $X$ convergiendo a $y$ . Dejemos que $A$ consiste en los puntos $x_n$ para todos incluso $n$ y que $B$ consiste en los puntos $x_n$ para todos los impar $n$ . Entonces $A$ y $B$ son cerrados y disjuntos en $X$ por lo que existe una continua $f:X\to[0,1]$ tal que $f$ mapas $A$ a $0$ y $B$ a $1$ . Este mapa $f$ no se extiende de forma continua a $Y$ .

Ahora podemos incrustar $X$ en $Y\times [0,1]$ utilizando la incrustación dada $X\to Y$ en la primera coordenada y $f$ en la segunda coordenada. El cierre de la imagen de $X$ en $Y\times[0,1]$ es entonces una compactación metrizable de $X$ que es estrictamente mayor que $Y$ desde $f$ se extiende continuamente hacia ella.

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Para tener otra perspectiva sobre esto, observe que el álgebra $C_b(X)$ de funciones continuas acotadas en $X$ puede identificarse canónicamente con $C(\beta X)$ y una compactación arbitraria de $X$ corresponde simplemente a una subálgebra cerrada de $C_b(X)$ que separa puntos de conjuntos cerrados en $X$ . Además, una compactación es metrizable si la subálgebra correspondiente es separable. Las compactaciones "más grandes" en su sentido sólo corresponden al orden de inclusión en las subálgebras.

Así, dada cualquier compactación metrizable correspondiente a una subálgebra separable $C(Y)\subset C_b(X)$ se puede obtener una subálgebra separable más grande simplemente tomando algunas $f\in C_b(X)\setminus C(Y)$ y tomando la subálgebra cerrada generada por $f$ y $C(Y)$ .