Los intervalos cerrados se refieren aquí a los arcos que incluyen puntos finales en el círculo. He intentado hacerlo tomando la imagen inversa de esos dos intervalos cerrados de $S^1$ a su espacio de cobertura $\mathbb{R}$ y luego construir un homeomorfismo de $\mathbb{R}$ que lleva estos intervalos cerrados entre sí. Pero el problema es que mientras se proyecta de nuevo a $S^1$ no puedo asegurar que esto resulte en un homeomorfismo.
Cualquier otro enfoque también es bienvenido.
Dejemos que $e : \mathbb{R} \to S^1, p(t) = e^{it}$ sea el recubrimiento estándar. Un intervalo en $S^1$ es la imagen $I = e([a,b])$ de un intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R}$ tal que $0 < b - a < 2\pi$ . La restricción $e_I : [a,b] \to I$ de $e$ es un homeomorfismo. Además tenemos $S^1 = I \cup I'$ con $I' = e([b,a+2\pi])$ . Tenga en cuenta que $I \cap I' = \{ e^{ia}, e^{ib} \}$ .
Considere dos intervalos $I_k = e([a_k,b_k])$ . Definir los homeomorfismos "lineales" $u : [a_1,b_1] \to [a_2,b_2], u(t) = a_2 +\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(t - a_1)$ y $u' : [b_1,a_1+2\pi] \to [b_2,a_2+2\pi], u'(t) = b_2 +\frac{a_2+2\pi-b_2}{a_1+2\pi-b_1}(t - b_1)$ . Estos inducen homeomorfismos que preservan la orientación $U : I_1 \to I_2$ y $U' : I'_1 \to I'_2$ . Ahora $U$ y $U'$ pueden pegarse a una orientación que preserve los homeomorfismos $h : S^1 = I_1 \cup I'_1 \to I_2 \cup I'_2 = S^1$ . Por construcción $h(I_1) = I_2$ .
Hola, ¿podría decirme cuál es la definición formal de un homeomorfismo que preserva la orientación?
@user56202 Los conceptos de orientación y homeomorfismo preservador de la orientación no son tan elementales como para poder explicarlas en un comentario. Si realmente quieres entenderlos, deberías consultar un libro de texto que trate sobre los colectores. Y deberías preguntar a Sanjay Kapoor qué definición utiliza. Intuitivamente, un homeomorfismo que preserva la orientación $h : S^1 \to S^1$ va a en sentido contrario a las agujas del reloj es decir, si tienes dos puntos $z_k = e^{it_k}$ con $0 \le t_1 < t_2 < 2\pi$ y $h(z_i) = e^{is_k}$ con $0 \le s_1, s_2 < 2\pi$ entonces $s_1 < s_2$ .
Si conoce los espacios de cobertura, entonces sabe que $h$ tiene un ascensor $\bar h : \mathbb R \to \mathbb R$ (que significa $e \circ \bar h = h \circ e$ ). $h$ conserva la orientación si $\bar h$ es estrictamente creciente.
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Supongo que la acción inducida es a través de la toma de imagen: $\phi\circ I:=\phi(I)$ ? Entonces esto es falso, ningún subconjunto adecuado de $S^1$ puede ser homeomorfo a $S^1$ . ¿O estás diciendo que estos intervalos tienen que ser subconjuntos propios? ¿Cuál es la definición de intervalo en $S^1$ porque me resulta confuso Como: subconjuntos propios, infinitos, conexos y cerrados de $S^1$ ?
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@freakish Es probable que eso sea lo que quiere decir el OP, sí. El espacio de los intervalos en $S^1$ debe ser el mismo que el espacio de pares ordenados de puntos distintos.
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Así que, en primer lugar, se puede suponer que dos de estos intervalos tienen un final común en $v=(1,0)$ y una está contenida en otra. Esto se debe a la aplicación de rotaciones (que preservan la orientación). Entonces se mira la preimagen del mapa de cobertura en $[0,1)$ o $(0,1]$ dependiendo de si $0$ o $1$ está aislado, reducir un intervalo a otro a través de $[0,1)\to[0,1)$ homeomorfismo y recrear un homeomorfismo $S^1\to S^1$ de eso aplicando el mapa de cobertura.
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Sí, tienes razón. Conjuntos adecuados, conectados y cerrados.