Los polinomios reducibles e irreductibles me confunden

Question

La definición afirma que un polinomio en un campo de grado positivo es un polinomio reducible cuando puede escribirse como el producto de $2$ polinomios en el campo con grados positivos. En caso contrario, es irreducible.

Así que si un polinomio $f(x)$ puede escribirse como el producto de, por ejemplo $41(x^2 + x)$ es que se considera no reducible porque $41$ es realmente $41x^0$ y $0$ no es técnicamente positivo, pero por la definición de un polinomio en un campo es un polinomio si $a_n$ no es $0$ para el más alto grado $n$ donde $n \geq 0$ .

Entonces, ¿el ejemplo del polinomio que di sería reducible o irreducible?

Answer 1

Este ejemplo en particular sería reducible, pero no por la razón que das -- sería porque podrías escribirlo como $41x(x+1)$ . Tenga en cuenta que $0$ no es positivo, por lo que la factorización que das no es un producto de dos polinomios de grado positivo ( $41$ es un polinomio de grado $0$ ).

Answer 2

Definición : Dado un dominio integral $R$ , un elemento no unitario no nulo $r \in R$ se dice que es irreducible si no puede escribirse como producto de no unidades, es decir, siempre que se escriba como producto de dos elementos, al menos uno de ellos es una unidad en $R$ .

Para los polinomios, esto se convierte en :

Definición : Dado un dominio integral $R$ el anillo $R[X]$ también es un dominio integral, y $f$ es un polinomio irreducible sobre $R$ si es un elemento irreducible de $R[X]$ .

Así de sencillo. Tomemos algunos ejemplos para aclararnos.

• El polinomio $f(x) = x$ es irreducible sobre cualquier anillo, ya que si $a(x)b(x) =x$ entonces WLOG $a$ debe ser un polinomio constante en el que la constante sea una unidad (utilice las reglas de multiplicación de polinomios), por lo que $a$ es una unidad en $R[X]$ Por lo tanto $x$ es irreducible.

• El polinomio $f(x) = 2x+2$ es irreducible sobre $\mathbb R[X]$ . Esto se debe a que si $a(x)b(x)$ divide $2(x+1)$ entonces al menos uno de $a(x)$ o $b(x)$ es un polinomio constante, pero todo polinomio constante es una unidad en $\mathbb R$ . Sin embargo, este polinomio es reducible en $\mathbb Z[X]$ desde aquí, $2(x+1)$ cuenta como No es una unidad factorización, porque $2$ no es una unidad.

Por lo tanto, la reducibilidad depende de "sobre qué anillo/campo". Por ejemplo, $41 = 41x^0$ es un polinomio constante, pero no es una unidad en $\mathbb Z[X]$ , mientras que es una en $\mathbb R[X]$ . Así, un polinomio como $41(x+1)$ es irreducible sobre la segunda pero no sobre la primera.

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Al trabajar sobre un campo, resulta que el conjunto de unidades de $F[X]$ es igual a los polinomios constantes no nulos. Por lo tanto, cualquier polinomio es irreducible en $F[X]$ si y sólo si se puede escribir como el producto de dos no constante polinomios. Las cosas cambiarán para un anillo que no sea un campo, ya que algunos polinomios no constantes pueden no ser unidades.

Además, tenga en cuenta que $41(x^2+x)$ es reducible en cada campo donde es distinto de cero ya que se puede escribir como $(41 x) \times (x+1)$ que es el producto de dos polinomios no constantes, que siempre son no unidades por el hecho de que el grado es multiplicativo.

La razón por la que se menciona "donde es distinto de cero", es porque en la característica $41$ (o, sobre campos de característica $41$ como $\mathbb Z \over 41\mathbb Z$ ), este polinomio se reduce en realidad a $0$ para el que la noción de irreducibilidad no está definida anteriormente. Para campos de cualquier otra característica, el polinomio es distinto de cero (y de la unidad), por lo que podemos hablar de irreducibilidad. Muchas gracias al comentario de abajo por señalar esto. También, algo similar se aplica a otros polinomios discutidos anteriormente como $2x+2$ (en la característica $2$ este polinomio es idéntico a cero) y $41(x+1)$ . Sin embargo, $x$ sigue siendo distinto de cero en todos los campos, por lo que el argumento se mantiene.

Answer 3

Un polinomio $f(x)$ es reducible si $f(x)=g(x)h(x)$ con $deg(g(x)) \ge 1$ y $deg(h(x)) \ge 1$