¿Tiene sentido ver todas las soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein como$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$, para un$h_{\mu \nu}$ dado?

Question

Tengo una pregunta acerca de la Relatividad General que, hasta ahora, nunca he sido capaz de resolver.

Vamos a tomar ecuaciones de campo de Einstein:

$$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=\frac{8 \pi G_{N}}{c^3}T_{\mu \nu}. \tag{1}$$

Por la imposición de las adecuadas condiciones iniciales y de energía-impulso del tensor, uno es capaz de encontrar soluciones para la métrica del tensor que incluyen la métrica de Schwarzschild, el Liberto-Robertson-Walker uno y así sucesivamente. Ahora, vamos a definir los siguientes $$g_{\mu \nu} \equiv \eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}\tag{2}$$

y vamos a insertar esta expresión en las anteriores ecuaciones de campo de Einstein.

Mi pregunta es la siguiente

"Se le haya dado la $T_{\mu \nu}$, son todas las soluciones en $g_{\mu \nu}$ e $h_{\mu \nu}$ equivalente?"

Es posible que existen ciertas soluciones que no puede ser expresado como una de Minkowski fondo $\eta_{\mu \nu}$ además de las fluctuaciones $h_{\mu \nu}$?

Answer 1

Es posible que existen ciertas soluciones que no puede ser expresado como una de Minkowski fondo $\eta_{\mu \nu}$ además de las fluctuaciones $h_{\mu \nu}$?

No. Tomar cualquier solución de las ecuaciones de campo de Einstein, elige un gráfico de coordenadas, y definir $$h_{\mu \nu} := g_{\mu \nu}-\eta_{\mu \nu}.$$ A continuación, la métrica de la tabla está dada por $$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}.$$

Sin embargo, no hay ninguna garantía de que esto es del todo útil, que $h_{\mu\nu}$ es en absoluto simple o pequeña (más de algo más que un local de aproximación en un gráfico elegido para ser tan pequeña que las desviaciones no tiene tiempo para venir), que esto será posible a nivel mundial , en lugar de sólo una carta limitados, o que estás haciendo algo distinto del puro símbolo empujando.

Es posible que existen ciertas soluciones que no puede ser expresado en una forma útil como un Minkowski fondo $\eta_{\mu \nu}$ además de las fluctuaciones $h_{\mu \nu}$?

Sí, absolutamente. Este es el caso genérico - la mayoría de las métricas no reducible a un perturbado de Minkowski de fondo. Si quieres un ejemplo concreto, comience con la métrica de Schwarzschild.

Answer 2

Es posible que existen ciertas soluciones que no puede ser expresado como una de Minkowski fondo $\eta_{\mu \nu}$ además de las fluctuaciones $h_{\mu \nu}$?

Sí. Hay vínculos entre la curvatura y la topología, y algunas topologías no son consistentes con una métrica de Minkowski. Por ejemplo, cerrado FLRW spacetimes tiene la topología espacial de una 3-esfera, que no es compatible con una métrica de Minkowski.

Incluso para spacetimes que topológicamente podría admitir una métrica de Minkowski, no sería la cuestión de qué sistema de coordenadas de imponer en el espacio-tiempo en el fin de identificar algunas de las coordenadas con el Minkowski coordenadas. En general, esta coordinatization no es única.

Answer 3

Creo que no entiendes teoría de la perturbación en el contexto de la GR. Dividir el tensor métrico en una exacta de la solución de ($\eta$) de las ecuaciones de Einstein, y de una perturbación ($h$) como:

$$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$$

Si usted sustituir esto en la ecuación $(1)$, se obtiene una serie infinita en $h$, en ambos lados del signo de igualdad. Uno, a continuación, normalmente elige ignorar las perturbaciones de orden mayor que uno, dado que son insignificantes en comparación con el fondo ($\eta$ aquí). Esto se conoce como linealizado GR. Uno puede elegir a parar en cualquier orden de la perturbación que les gusta, pero luego ecuaciones poco lioso rápidamente.

Si $g_{\mu \nu}$ fue una solución exacta, no dividido en (fondo + perturbación) en el primer lugar.

También, usted no puede arreglar $h_{\mu \nu}$ desde el inicio. $h_{\mu \nu}$ es la dinámica de la variable en la teoría de la perturbación de construir, y es exactamente cuyas ecuaciones de movimiento que necesita para resolver.

A veces, perturbando todo espacio plano no es lo ideal, como anteriormente. Por ejemplo, cuando se trata de perturbaciones en torno a una solución de Schwarzschild, que quiere perturbar alrededor de la exacta solución de Schwarzschild en GR. Por ejemplo, ver este clásico de papel por Regge y Wheeler - Estabilidad de una Singularidad de Schwarzschild. Esto dio nacimiento a agujero negro teoría de la perturbación, los frutos de lo que estamos presenciando hoy de onda gravitacional observaciones.

Answer 4

Usted también puede estar interesado en la existencia de Kerr-Schild las soluciones exactas de GR. Estos permiten tener espacio-tiempos con potencialmente de gran curvatura, y los trata de una manera que es similar a lo que tengo en mente cuando usted dice "útil". Iniciar la descomposición de la métrica como $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ con $h_{\mu\nu} = \phi k_\mu k_\nu$, de tal manera que $\phi$ es un escalar y $k_\mu$ es un vector nulo de ambos $g$ e $\eta$. La métrica es fácil a la inversa, sólo tienes que tomar un letrero en la frente de la "perturbación", y el de Einstein linealizar las ecuaciones en términos de $\phi$. Muchos agujeros negros spacetimes puede ser puesto en esta forma. Para Schwarzschild, tendrías $h_{\mu\nu} = \frac{2GM}{r} k_\mu k_\nu$ con $k^\mu =(1,x^i/r)$, $r=x^i x_i$, $i=1\dots3$.