Deje $f \in \mathbb{C}[z]$ un complejo polinomio tal que $f(\mathbb{D}) \subset \mathbb{R},$donde $$ \mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} $$ Mostrar que $f$ es constante.
Mi intento es: definir una función $g(z) = e^{if(z)}$ y el enchufe de algunas raíces de la unidad en la $g,$ pero, ¿cómo puedo concluir de esto? Sé que si $\Omega$ está abierto, conectado y $f(\Omega) \subset \mathbb{R},$ entonces $f$ es constante.
Deje $B(0,1)$ ser la unidad de abrir bola centrada en el origen, y deje $D^2 = B(0,1) \cup \mathbb{D}$ ser la unidad cerrada bola centrada en el origen.
Si $f$ no es constante, entonces la asignación abierta teorema de la, $f(B(0,1)) = \Omega$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$. Desde $\mathbb{D}$ es el límite de $B(0,1)$ es de los mapas en el límite de $\Omega$. Desde $D^2$ es compacto, $f(D^2)$ es compacta, por lo $f(D^2)$ es cerrado y acotado.
Así, $\mathbb{D}$ mapas en el límite de $\Omega$. Pero esto sólo puede suceder si $f(B(0,1)) = \mathbb{C} - f(\mathbb{D})$. Este es, de hecho, abrir porque $f(\mathbb{D})$ es un conjunto compacto y, por tanto, cerrado y acotado. Sin embargo, esto significa que $f(B(0,1))$ es no acotado, lo cual es una contradicción, porque $f(D^2)$ fue deducida a ser limitada, e $f(D^2) \supset f(B(0,1))$.
Por lo tanto, tenemos una contradicción. Por lo tanto, $f$ debe ser constante.
Por el camino, su notación es un poco extraño porque he visto a $\mathbb{D}$ se utiliza generalmente para indicar el cerrado de la unidad de disco, en lugar de el círculo. Tal vez sería apropiado para corroborar el origen de la pregunta.
Creo que podemos hacer esto desde el comienzo, sobre todo desde que nos están teniendo en cuenta que $f$ es un polinomio:
Deje $\mathbb T$ ser el círculo unidad, y $f$ un polinomio de grado $n$.
Para $z=e^{it}$, considera que el número real
$f(e^{it})=a_0 +a_1e^{it}+a_2e^{2it}+\cdots a_{n}e^{nit}.$
La parte imaginaria de esta debe ser igual a cero, por lo que
$Im\ a_0+\sum^{n}_{k=1}(Re\ a_k\sin kt+Im\ a_k\cos kt)=0$.
Pero ahora, independencia lineal del conjunto $\left \{1, \sin kt,\cos kt \right \}^{n}_{k=1}$ a $\mathbb T$ implica que
$Im\ a_0=a_1=\cdots=a_n=0$ lo $f(z)=Re\ a_0$.
Si ponemos $$ u(x,y)=\mathrm{Im}\,f(x+iy), $$ a continuación, $u$ es una función armónica, que se desvanece en el círculo unidad. Máximo (junto con Mínimo) Principio armónico de la función implica que $$ \max_{x^2+y^2\le 1}{u(x,y)}=\max_{x^2+y^2=1}{u(x,y)}=0 \quad\text{y}\quad \min_{x^2+y^2\le 1}{u(x,y)}=\min_{x^2+y^2=1}{u(x,y)}=0 $$ Por lo tanto, $u\equiv 0$ en el cerrado de la unidad de disco, y por lo tanto, $u\equiv 0$ todas partes. (Principio De Identidad.)
Por lo tanto $f$ sólo toma valores reales, y, por tanto, $f$ es constante.
La parte imaginaria $\text{Im}\;f(z)$ de $f(z)$ es armónica, y cero en el círculo unidad, por lo tanto, por el principio del máximo para funciones armónicas, llegamos a la conclusión de que $\text{Im}\;f(z)$ es idéntica a cero en la pelota. Por lo tanto $f$ es real en la pelota. Por supuesto, un no-real constante de la función no puede tener complejo derivado en $0$; en particular, $f$ no es un polinomio.
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