Cómo probar $f\equiv 0$ $\forall x\in [a,b]$? $\quad$($f''＋pf'＋qf＝0$with $f(a)＝f(b)＝0$)

Question

Definir $f \in C^{2}[a,b]$ satisfacción $f''＋pf'＋qf＝0$ con $f(a)＝f(b)＝0$, donde $p\in C^{0}[a,b]$ e $q\in C^{0}[a,b]$ son dos funciones.

Si $q\leq0$, podemos probar a$f\equiv 0$ $\forall x\in [a,b]$ ?

Yo:
Si $f\not\equiv 0$, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el máximo de $f$ a $[a,b]$ es mayor que cero, mientras que la notación de $f(x_0)＝\displaystyle\max_{[a,b]} f$.

Luego tenemos a $f(x_0) > 0$, $f'(x_0) ＝ 0$ e $f''(x_0) \leq 0$.

Me di cuenta de que si se alteran las condiciones $q\leq0$ a $q(x)<0$ hay evidentemente existe contradicción.

Pero, ¿cómo analizar más con la condición de $q\leq0$? Aun así, podemos encontrar contradicción si $q(x_0)＝0$ e $f''(x_0)＝0$ ?

Cualquier idea será highy apreciado!

Answer 1

El siguiente está basado en la clásica prueba del principio del máximo.

Deje $L(f)=f''+p\,f'+q\,f$. Si $L(f)>0$, entonces su argumento muestra que $f$ debe ser idéntica $0$.

Pero tenemos $L(f)=0$, no $>0$. ¿Qué podemos hacer? Tome $M>0$ tal que $M^2+M\,p(x)+q(x)>0$ para todos los $x\in[a,b]$ y deje $\epsilon>0$. Entonces $$ L(f+\epsilon\,e^{Mx})=\epsilon\,e^{Mx}(M^2+M\,p(x)+q(x))>0\quad\forall x\in[a,b]. $$ Entonces $$ \max_{un\le x\le b}(f+\epsilon\,e^{Mx})=\max\bigl(f(a)+\epsilon\,e^{Ma},f(b)+\epsilon\,e^{Mb}\bigr)=\epsilon\,e^{Mb}. $$ Dejando $\epsilon\to0$ da el resultado deseado.