Perdón por mi franqueza, pero qué diablos real está ocurriendo en esta prueba de $K=\frac{mv^2}{2}$?!

Question

Estoy leyendo la Marca Levi's de la Mecánica Clásica. Aquí:

Estoy confundido con lo que está sucediendo en esa prueba. Primero una integral indefinida convierte en definitivo, con una variable distinta de la integración. Y luego, están las funciones de $F,v$ de $t$ cuales son reemplazados con $ma$ e $v$. Supongo que en el siguiente paso, usamos ese $a=\frac{dv}{dt}$ y creo que:

$$\int_{0}^{T}ma \, v\, dt = m \int_{0}^{T} \frac{dv}{dt} \, v\, dt$$

Pero esto parece sugerir que cuando he a$\frac{dv}{dt}v$, puedo sacar la $v$ de la $dv$ y, de hecho:

$$\frac{dv}{dt}v=1v=v \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{d}{dt}v^2=2v$$

A partir de la cual podemos corregir multiplicando por $1/2$. Tomé clases en el cálculo y física, pero nunca vi este tipo de manipulaciones antes. Tengo dos preguntas:

• Lo que realmente está sucediendo allí? Supongo que he sido capaz de adivinar algunas de las cosas, pero estoy un poco confundida cuando las funciones de $F(t),v(t)$ desaparecen y son reemplazados por $ma,v$ respectivamente. Esto significa que F(t) es una función constante con valor de $ma$? También, ¿cuál es el significado de la integral indefinida que es igual a la integral definida? También, se terminan por integrar algo que se reescribe como un derivado y, a continuación, la no integración en todos los?!

• Lo necesito para un estudio de este tipo de manipulaciones? Ecuaciones diferenciales? Se ve como el cálculo, pero con más "libertad", fuegos artificiales y acrobacias. Creo que también tengo derecho a volver loco.

Answer 1

Bien, esto probablemente pertenece más a la Física de Intercambio de la Pila, pero :

La notación del problema considera que una constante de la fuerza de $F$ es aplicado a un objeto. Por la ley de Newton, sabemos que $\sum F = ma \Rightarrow F = ma$ desde $F$ es la única fuerza aplicada a la partícula y $ma$ es estable, constante, ya que $F$ es constante así. Tenga en cuenta que la aceleración constante implica la variación de la velocidad con el tiempo.

Si denotamos por a$F(t)$ una función para $F$, luego de curso desde $F$ es estable, a continuación, $F(t) := F = ma$.

Para objetos en movimiento, la cantidad de trabajo/tiempo de encendido (power) está integrado a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza. Por lo tanto, en cualquier instante, la tasa de trabajo realizado por una fuerza (se mide en joules/segundo, o vatios) es el producto escalar de la fuerza (un vector), y el vector de velocidad del punto de aplicación. Este producto escalar de la fuerza y la velocidad se conoce como potencia instantánea. Como las velocidades pueden ser integrados a lo largo del tiempo para obtener una distancia total, por el teorema fundamental del cálculo, el trabajo total a lo largo de una ruta de acceso es también el tiempo de la integral de la potencia instantánea aplicada a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación.

Ahora, tenga en cuenta que el trabajo es el resultado de una fuerza en un punto que sigue una curva $X$, con una velocidad de $v$, en cada instante. La pequeña cantidad de trabajo $δW$ que se produce en un instante de tiempo $\mathrm{d}t$ se calcula como :

$$\delta W = F\mathrm{d}\mathbf{x} = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} \mathrm{d}t$$

Si la fuerza es siempre dirigidos a lo largo de esta línea, y la magnitud de la fuerza es $F$, entonces :

$$W = \int_C F\mathrm{d}\mathbf{x} = \int \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}\mathrm{d}t$$

donde $\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$ es el producto interior de los vectores de la fuerza y la velocidad, $\mathbf{x}$ es el vector de espacio. Pero ya que estamos trabajando en un simple unidimensional problema, es bastante simplificado en su único y coordinar, con respecto al tiempo :

$$W= \int F(t)\cdot v(t)\mathrm{d}t =\int F\cdot v(t)\mathrm{d}t$$

Puesto que estamos interesados para un trabajo de cálculo entre dos eventos, dejar que el tiempo se $t=0$ ser el inicio del evento y el tiempo de $t=T$ el evento final, así :

$$W_T = \int_0^T Fv(t)\mathrm{d}t = \int_0^T mav(t)\mathrm{d}t$$

Pero, también es

$$F = m a = m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$$

puesto que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Así, finalmente, la integración de :

$$W_T = \int_0^T m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} v(t)\mathrm{d}t$$

Ahora, tenga en cuenta que :

$$\frac{\mathrm{d}v(t)^2}{\mathrm{d}t}= 2v(t)\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$$

Entonces, la integral se convierte en :

$$W_T = \frac{1}{2} \int_0^T m \frac{\mathrm{d}v(t)^2}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \frac{1}{2}\Big[mv^2(t)\Big]_0^T $$

La aplicación de los valores iniciales de $v(t)$ ahora, ya que la partícula se encuentra todavía en $t=0$ con $v(0) = 0$ y tiene la velocidad de $v$ en el tiempo de $t=T$, lo $v(T) = v$, da el resultado final.

Answer 2

Recuerde que la Ley de Newton

$$ F = m a = m\frac{{\rm d}^2 x}{{\rm d}t^2} = m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} $$

El resto es sólo un cambio de variables, suponiendo que $x = x(t)$ e $x(0) = 0$

$$ W = \int_0^x F(x){\rm d}x = \int_0^t F(t)\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}{\rm d}t = \int_0^t m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} v {\rm dt} $$

Ahora hacer un segundo cambio de las variables de $v = v(t)$, y asumir de nuevo la $v(0) = 0$, por lo que

$$ W = \int_0^t m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} v {\rm dt} = m\int_0^v v {\rm d}v = \frac{1}{2}mv^2 $$

Answer 3

Dividir el tiempo en pequeños trozos de tiempo $t_i$, la escritura $\Delta t$ para $t_{i+1} - t_i$. El trabajo realizado entre un intervalo de tiempo pequeño $t_i$ e $t_i + \Delta t$ es la fuerza aplicada durante ese tiempo los tiempos de la distancia. Suponiendo que $\Delta t$ es lo suficientemente pequeño que el de la fuerza y la velocidad es aproximadamente constante durante un intervalo de tiempo, obtenemos que el trabajo durante el lapso de tiempo es aproximado por $$ F(t_i) * (\text{distancia entre la posición en el momento } t_i \text{ y en el momento } t_{i+1}) = F(t_i)v(t_i)\Delta t. $$ La adición de todos estos y tomando el límite cuando $\Delta t$ va a cero, explica por qué el trabajo está dada por la segunda integral en la cadena de igualdades (la primera, escrita sin límites, es sólo físico-taquigrafía).

Ahora $F(t) = m*v'(t)$ es la fórmula habitual para la fuerza (suponga que la masa se mantiene constante a medida que la fuerza se aplica). Así tenemos $$ \int_0^T m v'(t)v(t) dt. $$ Desde $\frac{d}{dt} v^2(t) = 2v(t)v'(t)$ por la regla de la cadena, esto es $$ \frac{m}{2} \int_0^T \frac{d}{dt} v^2(t) dt, $$ y el resultado se sigue del teorema fundamental del cálculo.