He tratado de encontrar la respuesta a la pregunta: evaluación Numérica de $\sum_{N=1}^\infty\left(\frac{1}{\Gamma(N+1)^2}\right)^{\frac{1}{N}}$. Creo que mi resultado es $4$ de veces que el valor esperado. Es este accidentales y mi solución no es correcta? ¿Mi solución teórica o alguna falta de atención culpa?
La solución es:
$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{\Gamma^2(n+1)}\right)^{{1}/{n}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n!^2)}\right)^{{1}/{n}}=\sum\limits_{n=1}^\infty \prod\limits_{k=1}^n k^{-2/n}$
$S=\sum\limits_{n=1}^\infty e^{\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n \ln(\frac{1}{k})} $
A partir de la exponente, se obtiene:
${\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n \ln(\frac{1}{k})}={\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n \ln(\frac{n}{k} \frac{1}{n})}=\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n \ln\frac{n}{k}+\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n \ln \frac{1}{n}$
El primer término de la exponente es la suma de Riemann por lo tanto obtenemos:
$2\int\limits _0^1\ln\frac{1}{x} dx= 2$
Volver a poner en la suma:
$S=\sum\limits_{n=1}^\infty e^{2-\frac{2}{n} n \ln{n}}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {e^{2}}{n^2}=\zeta(2)e^2 $
