¿Cuándo son los anillos cuadráticos de enteros dominios de factorización únicos?

Question

Deje $D$ ser una plaza libre entero. Deje $R_D$ ser la integral de cierre de $\mathbb{Z}$ en el campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$.

Para algunos valores de $D$, el anillo de $R_D$ es $UFD$, pero no para todos. Por ejemplo, los enteros de Gauss $R_{-1}$ son $UFD$ mientras que el anillo de $R_{-5}$ no lo es. Hay varias maneras de mostrar esto, incluyendo la computación en la clase de número de $R_D$. Sin embargo, todas las pruebas a las que me he visto sentir ad hoc y poco intuitivo.

De acuerdo a los Stark-Heegner teorema, para $D<0$, el anillo de $R_D$ es $UFD$ si y sólo si $$D \in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}.$$ ¿Hay alguna razón intuitiva de por qué esto debería ser una lista completa? Lo ideal sería un motivo estructural - viene con una prueba separada para cada una de las $D$ en la lista es profundamente insatisfactorio para mí.

Answer 1

Yo no estaría tan rápido descuento sobre el valor de ir a través de la lista uno por uno. Para este post, vamos a estipular $D < 0$ a lo largo.

Usted ha notado $-2$ es la única incluso en valor, ¿verdad? Si $D$ es incluso, a continuación, $D = (\sqrt D)^2$, que es bastante obvio. Pero si $D$ es incluso y compuesta, significa que $N(z) = 2$ para $z \in \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt D)}$ es imposible. Así que, a continuación, $2$ es irreductible, sin embargo, $D = 2 \times x = (\sqrt D)^2$, donde $x \in \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt D)}$ también.

Usted también ha notado que $-5$ no está en la lista. Tampoco es $-13$, $-17$, $-29$, etc. Lo que estos números tienen en común, además de ser impar, es que son congruentes a $3 \bmod 4$ (recordar que la congruencia se "voltea" para los números negativos, por lo $-3 \equiv 1 \bmod 4$, no $3 \bmod 4$).

Por lo tanto, si $D \equiv 3 \bmod 4$, a continuación, $N(1 + \sqrt D) = -D + 1$, que es mucho. Pero en este dominio, resulta que $N(z) = 2$ también es imposible. Lo que significa que $-D + 1$ tiene al menos dos factorizations. Por lo tanto $D = -5$ nos da el ejemplo clásico de $6 = 2 \times 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5})$.

Ahora vamos a decir $D \equiv 1 \bmod 4$ lugar. Entonces es todavía el caso de que $-D + 1 = (1 - \sqrt{D})(1 + \sqrt{D})$, pero... $$\frac{1 - \sqrt{D}}{2}, \frac{1 + \sqrt{D}}{2}$$ are also algebraic integers, both with minimal polynomial $$x^2 - x + \frac{-D + 1}{4},$$ e.g., $$\frac{1 - \sqrt{-43}}{2}, \frac{1 + \sqrt{-43}}{2}$$ both have the polynomial $x^2 - x + 11$.

Por lo tanto, el pleno de la factorización de $44$ en este dominio no es $(1 - \sqrt{-43})(1 + \sqrt{-43})$ pero $$2^2 \left(\frac{1 - \sqrt{-43}}{2}\right) \left(\frac{1 + \sqrt{-43}}{2}\right).$$

Por qué esto no funciona para $D \leq -167$ es un poco más complicado, tal vez alguien más lo hará dirección.

Answer 2

Sí creo que hay una razón intuitiva, y tiene que ver con el número 41. Usted sabe que $n^2 + n + 41$ es primordial para todos los $0 \leq n < 41$? Por supuesto, es compuesto por $n = 41$.

Observe que $$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right) = 41,$$ $$\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right)\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right) = 43,$$ $$\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right)\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right) = 47,$$ and so on and so forth to $$\left(\frac{79}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right)\left(\frac{79}{2} - \frac{\sqrt{-163}}{2}\right) = 1601.$$

¿Cuáles son los otros números de $d$ tal que $n^2 + n + d$ da primos de $0 \leq n < d$? 2, 3, 5, 11, 17, ver https://oeis.org/A014556 Y, a continuación, $-4d + 1$ da $-7, -11, -19, -43, -67$, e $-163$ corresponde a 41.

No hay mayor número de $d$ cumple con este requisito, y por lo tanto no corresponde a una Heegner número.