¿Por qué puede L ' Hôpital ' s regla no se aplica a la suma o diferencia de límites?

Question

Considera <span class="math-container">$$\lim{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} + \lim{x\to\infty}\frac{h(x)}{i(x)}$ $</span> me dijeron que no puedo aplicar la regla de L'Hôpital cada límite individual y luego se unen a los límites como <span class="math-container">$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} +\frac{h(x)}{i(x)}$ $</span> ¿por qué es este correcto?

Answer 1

Me dijeron que no puedo aplicar la regla de L'Hôpital para cada individuo límite y, a continuación, unirse a los límites ...

Este tiene nada que ver con el L'Hôpital de la misma regla.

La regla de que no se puede utilizar es:

$\lim\limits_{x\to...}f(x)+\lim\limits_{x\to...}g(x)=\lim\limits_{x\to...}(f(x)+g(x))$

Y se puede ver a partir de JDMan4444 la respuesta de que hay situaciones en las que esta regla no funciona.

Sin embargo, si está seguro de que $\lim\limits_{x\to...}f(x)$ e $\lim\limits_{x\to...}g(x)$ existen (y no $\pm\infty$), se puede aplicar esa regla. (Y, por supuesto, usted puede aplicar L'Hôpital de la regla de la suma en este caso).

Esto es importante porque en algunos casos es posible demostrar que ambos límites existen, pero el cálculo de los límites directamente es muy difícil o incluso imposible. En tales casos el cálculo del límite de la suma puede ser más fácil.

Answer 2

Considere el siguiente ejemplo:

<span class="math-container">$$ \lim{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{x}+\lim{x\rightarrow\infty}\frac{-x^2}{x} = \infty - \infty \quad \text {(que no está definido)} $$</span> <span class="math-container">$$ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{x}+\frac{-x^2}{x} = 0 $</span>

Answer 3

La identidad siguiente

<span class="math-container">$$\lim{x\to \infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)} +\frac{h(x)}{i(x)}\right)=\lim{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} + \lim_{x\to \infty}\frac{h(x)}{i(x)}$$</span>

no mantenga en general y para resolver el límite de la LHS por l'Hopital, si es necesario, tenemos que poner en forma

<span class="math-container">$$\lim{x\to \infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)} +\frac{h(x)}{i(x)}\right)=\lim{x\to \infty}\frac{f(x)i(x)+h(x)g(x)}{g(x)i(x)} $$</span>

la razón es que el caso se hace referencia a no está entre los casos considerados por l'Hopital teorema.

Answer 4

Me parece que tenes un Consejo malo o incompleto. No es incorrecto si esos límites existen y son finitos. Esto no tiene mucho que ver con L'Hopital. La <span class="math-container">$\infty - \infty$</span> o <span class="math-container">$-\infty + \infty$</span> de los casos son problemáticos si estás contemplando a L'Hopital o no.