El más fuerte antifoundation axioma sé que es debido a Boffa. Aproximadamente, se afirma que cada gráfico que podría representar un conjunto, no. Por ejemplo, considerando un gráfico que consta de (a raíz conectados a) arbitrariamente muchos "uno de los vértices bucles" lleva a la conclusión de que Boffa implica la existencia de una clase adecuada de los distintos Quine átomos (= conjuntos de satisfacer $x=\{x\}$); por el contrario, Aczel del antifoundation axioma implica que no es exactamente un Quine átomo.
Para más detalles, consulte Aczel libro sobre el tema, especialmente en el capítulo $5$.
Motivados por esta pregunta, quiero preguntar acerca de la situación en Quine de la teoría de conjuntos y sus variantes (para simplificar, voy a tratar urelements como Quine átomos):
Dado un modelo de $M$ de NF o una de sus variantes (por ejemplo, NFU), ¿qué podemos decir acerca de la $(i)$ el conjunto $\mathcal{TRAN}(M)$ de gráficos en $M$ cuales son isomorfos en $M$ a los gráficos de la forma $(X, \in\upharpoonright X)$ para $X$ transitiva? Y $(ii)$ el conjunto $\mathcal{SET}(M),$ donde dejamos el requisito de que $X$ ser transitiva?
(Tenga en cuenta que la consistencia de NF, incluso en relación con los grandes cardenales, está abierto por lo que yo sé, con Holmes' afirmó prueba aún no investigados; para los fines de esta cuestión, sin embargo, estoy suponiendo).
