Una incoherencia en la aproximación numérica

Question

Considere la expresión

$$ 10^5 - \frac{10^{10}}{1+10^5}. $$

Utilizando las propiedades elementales de las fracciones podemos evaluar la expresión como

$$ 10^5 - \frac{10^{10}}{1+10^5} = \frac{10^5 + 10^{10} - 10^{10}}{1+10^5} = \frac{10^5}{1+10^5}\approx 1. $$

Obsérvese que la aproximación $10^5+1 \approx 10^5$ se utiliza en el último paso. Ahora supongamos que utilizamos la misma aproximación, pero la aplicamos antes de realizar la resta. Obtenemos

$$ 10^5 - \frac{10^{10}}{1+10^5} \approx 10^5 - \frac{10^{10}}{10^5} = 0. $$

La misma lógica funciona para

$$ 10^p - \frac{10^{2p}}{1+10^p} $$

para un tamaño arbitrario de $p$ por lo que no puede tratarse simplemente de un problema de precisión de la aproximación.

¿Hay una explicación fácil de lo que está pasando aquí?

Answer 1

Se trata simplemente de una cuestión de precisión de la aproximación. Permítanme escribir $x = 10^p$ . Entonces su expresión es $$ x - \frac{x^2}{1+x}$$

Tenga en cuenta que $$\frac{x^2}{1+x} = \frac{x}{1/x + 1} = x (1 - 1/x + O(1/x^2)) = x - 1 + O(1/x)$$ para que $$ x - \frac{x^2}{1+x} = x - (x - 1 + O(1/x)) = 1 + O(1/x)$$

En su segundo cálculo sólo ha evaluado $x^2/(1+x)$ a dentro de $O(1)$ no $O(1/x)$ , por lo que naturalmente tiene un error al final que es $O(1)$ .

Answer 2

La primera aproximación está bien. La segunda no lo está, porque, $10^5$ y $\dfrac{10^{10}}{1+10^5}$ son números grandes con aproximadamente el mismo tamaño. Está diciendo que como $10\,001$ está cerca de $10\,000$ entonces $1$ está cerca de $0$ .

Answer 3

No hay ninguna paradoja.

Cuando se aproxima $$\frac{10^5}{1+10^5}=1-0.000099999000\cdots$$ con $1$ el error es del orden de $10^{-5}$ .

Pero en el segundo caso, el mismo error se multiplica por $10^5$ para que deje de ser despreciable.