El coeficiente binomial para un determinado par de $n \geq k \geq 0$ enteros puede ser expresado en términos de un símbolo de Pochhammer como la siguiente.
$$
\binom n k = \frac{(-1)^k (n)_k} {k!}.
$$
La expresión es válida incluso si $n$ es un número real arbitrario.
Aquí observamos dos cosas.
- El símbolo de Pochhammer $(-n)_k$ es cero, si $n \geq 0$ e $k > -n$.
- El factorial de $k!$ puede ser escrito como $(1)_k$.
El uso de estas observaciones, podemos expresar tu sumas de dinero en términos de una función hipergeométrica generalizada $_pF_q$ el siguiente. Para la suma de los coeficientes binomiales, tenemos
$$
\sum_{k=0}^n \binom n k = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k (n)_k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty (-n)_k{\frac{(-1)^k}{k!}} = {_1F_0}\left({{-n}\cima{-}}\medio|\,-1\right).
$$
Para la suma de los cuadrados de los coeficientes binomiales, tenemos
$$
\sum_{k=0}^n {\binom n k}^2 = \sum_{k=0}^n \left(\frac{(-1)^k (n)_k}{k!}\right)^2 = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left((-n)_k\right)^2}{k!} \cdot \frac{1}{k!} = {_2F_1}\left({{-n, -n}\cima{1}}\medio|\,1\right).
$$
Y para la suma de los cubos de los coeficientes binomiales $-$ también conocido como Franel números de $-$, tenemos
$$
\sum_{k=0}^n {\binom n k}^3 = \sum_{k=0}^n \left(\frac{(-1)^k (n)_k}{k!}\right)^3 = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left((-n)_k\right)^3}{(k!)^2} \cdot \frac{(-1)^k}{k!} = {_3F_2}\left({{-n, -n, -n}\cima de{1, 1}}\medio|\,-1\right).
$$
En general, para un entero positivo $r$, tenemos el binomio suma
$$
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n {\binom n k}^r &= \sum_{k=0}^n \left(\frac{(-1)^k(-n)_k}{k!}\right)^r = \sum_{k=0}^\infty \frac{\left((-n)_k\right)^r}{(k!)^{r-1}} \cdot \frac{(-1)^{rk}}{k!} \\ &= {_rF_{r-1}}\left({{-n, -n, \dots, -n}\atop{1, \dots, 1}}\middle|\,(-1)^r\right).
\end{align*}
$$
