¿Sin fundamento: no transitiva modelo de ZFC?

Question

Supongamos que ZFC es consistente.

Es fácil mostrar que hay un illfounded modelo (con la compacidad, por ejemplo, aquí). Si tenemos el axioma de fundación en el nivel de fondo se puede concluir que este modelo no es isomorfo a un modelo transitivo.

Es posible demostrar que no es un modelo de ZFC que no es isomorfo a un modelo transitivo sin asumiendo la fundación en el nivel de fondo?

Answer 1

Buena pregunta! La respuesta es no: la Fundación se necesitaba, de hecho, en el metatheory.

Boffa del antifoundation axioma implica que cada extensional grafo dirigido $(X; \rightarrow)$ es isomorfo a $(A;\in\upharpoonright A)$ para algunos transitiva conjunto $A$. En particular, cualquier modelo de ZFC es isomorfo a un modelo transitivo - al menos, eso es lo que ZFC-Fundación+Boffa piensa.

Tenga en cuenta que la única cosa que se utiliza aquí es que ZFC es extensional, por lo que la anterior también se aplica, por ejemplo, Quine de la teoría de la NF y sus variantes. Incluso para los no-extensional teorías, podemos obtener una versión de los anteriores resultado: conseguir que la si $T$ es una constante en $\{\in\}$-teoría, entonces, $T$ tiene un modelo de la forma $(A;\in\upharpoonright A)$ para algunos de $A$.

Para una discusión de Boffa, el axioma de, véase el Capítulo $5$ de Aczel del libro.