Encuentre todos $n$ tal que $\gcd(3n-4, n^2+1)=1$

Question

Necesito encontrar todos los $n\in\mathbb{Z}$ para que $3n-4$ y $n^2+1$ serían números coprimos.

Estaba pensando en utilizar el algoritmo euclidiano: si dos números $a$ y $b$ son coprimos, entonces existen enteros $c$ y $d$ : $ac+bd=1$ . Así que si no existen enteros $c$ y $d$ entonces mis números no serán coprimos.

Otra idea es comprobar algunos $n$ Lo que he visto es que cuando $n=3$ o $-2$ el factor común es $5$ . Tal vez siempre esté relacionado con el número $5$ ?

Y lo último, siempre un número es par y otro es impar. Así que su factor común es $1$ o mayor que $2$ .

¿Alguna idea mejor? :)

Answer 1

Sí, el algoritmo euclidiano es un buen punto de partida. En particular, recuerde estas propiedades de la $\gcd$ .

Pista. Desde $3n-4$ no es divisible por $3$ podemos considerar $$\begin{align}\gcd(3n-4, n^2+1)&=\gcd(3n-4, 3n^2+3)\\&=\gcd(3n-4, (3n-4)(n+1)+n+7)\\&=\gcd(3n-4,n+7)\end{align}$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

P.D. Al final verás que tu observación sobre el divisor común $5$ es "casi" correcto: el $\gcd$ puede ser $1$ , $5$ o $25$ .

Answer 2

El algoritmo euclidiano ampliado realizado en $\mathbb Q[n]$ da $$ 25 = -(3n+4)(3n-4)+9(n^2+1) $$ Por lo tanto, $\gcd(3n-4, n^2+1)$ divide $25$ .