Razón para el término "suave"

Question

Un espacio normado <span class="math-container">$X$</span> se dice que es suave si <span class="math-container">$x \in X$</span> <span class="math-container">$||x||=1$</span> existe un único acotado lineal funcional <span class="math-container">$f$</span> tal que el <span class="math-container">$||f||=1$</span> y <span class="math-container">$f(x)=||x||$</span>. ¿Por qué viene el término "suave"?

Answer 1

Consideremos el espacio de $X=\mathbb R^2$ con la $\ell^p$-norma.

A continuación, para $p=1$ o $p=\infty$ podemos ver que la unidad de la bola ha kinks, y no de aspecto liso. Se puede demostrar, que hay puntos de $x\in X$ tal, que no es más que una funcional $f$ con $\|f\|=1$ e $f(x)=\|x\|=1$. (Por ejemplo, si $p=1$ considerar el punto de $x=(1,0)$, a continuación, $g(x)=x_1$ e $h(x)=x_1+x_2$ son las posibles opciones para el $f$.)

Para $p$ con $1<p<\infty$ la unidad de la bola tiene un aspecto liso (su límite es diferenciable). Y es posible demostrar que para cada una de las $x\in X$ no es exactamente una funcional $f$ con $\|f\|=f(x)=\|x\|=1$.

Espero que esto sea una motivación suficiente para el término "suave" para una normativa espacio.

Answer 2

Esta condición implica que la función de $F \colon x \mapsto \|x\|$ es (Gâteaux) diferenciable en a$x$ con $F'(x) = f$. De hecho, el conjunto de $$ \{ f\X^* \mid \|f\| \le 1 \text{ y } f(x) = \|x\|\}$$ coincide con la parte convexa subdifferential de $F$ a $x$. Si este subdifferential es un singleton, a continuación, $F$ es diferenciable.