Función estrictamente creciente de reales a reales que nunca es un número algebraico

Question

Deje $f:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ tienen las propiedades $\forall x,y\in\Bbb R,\space x<y\implies f(x)<f(y)$ e $\forall x\in\Bbb R,\space f(x)\notin\Bbb A$ donde $\Bbb A$ es el conjunto de los números algebraicos, es decir, $f$ es estrictamente creciente, pero en ninguna parte es $f(x)$ algebraicas.

Hace una función de este tipo existen? Y si es así, puede uno estar explícitamente construido?

Mis pensamientos son que tal función debe existir, ya que los números algebraicos son "pequeña" en comparación con los reales; podemos demostrar que un bijection (o más débilmente una inyección) debe existir de $\Bbb R$ a $\Bbb R\backslash\Bbb A$ debido a que tienen la misma cardinalidad, pero no estoy del todo seguro de cómo demostrar rigurosamente que estrictamente creciente en función existe, aunque en principio esto es sólo un tipo especial de inyección.

La sustitución de $\Bbb A$ por un conjunto como $\Bbb Z$ en la definición que hace la pregunta trivial, y estos conjuntos tienen la misma cardinalidad, por lo que claramente la dificultad surge porque $\Bbb A$ es denso en los reales - cualquier sugerencias o respuestas se agradece.

Answer 1

Una posible (voy a explicar por qué más adelante) ejemplo podría ser ...

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Vamos a tomar un $x \in \mathbb{R}$ y tienen su binario (por simplicidad) representación $x=(x_nx_{n-1}...x_0\color{red}{,}x_{-1}x_{-2}...x_{-m}...)_2, x_k\in\{0,1\}, k\in\{-\infty,...,n\}$o $$x=\sum\limits_{k=0}^nx_k2^k + \sum\limits_{m=1}\frac{x_{-m}}{2^{m}}$$ y construir la función $$f(x)=f\left(\sum\limits_{k=0}^nx_k2^k + \sum\limits_{m=1}\frac{x_ {m}}{2^{\color{red}{m}}}\right)= \sum\limits_{k=0}^nx_k2^k + \sum\limits_{m=1}\frac{x_ {m}}{2^{\color{red}{m.}}}$$ es decir, $f(x)$ se convierte en

• un número de Liouville, si $x$ es irracional
• un número de Liouville, si $x$ es racional con periódico (que nunca termina) parte fraccionaria
• racional, si $x$ es racional finito con parte fraccionaria
• $f(x)=x$si $x$ es un entero

Todos los números de Liouville son trascendentales, por lo que esta función nunca devuelve un número algebraico.

No es demasiado difícil de demostrar es estrictamente creciente, si $a < b$o $$(a_na_{n-1}...a_0\color{red}{,}a_{-1}a_{-2}...a_{-m}...)_2 < (b_nb_{n-1}...b_0\color{red}{,}b_{-1}b_{-2}...b_{-m}...)_2$$ ($a_n,a_{n-1}, ...$ can be $0$, just to have a common upper index $n$ for both $$ and $b$) means that $\existe k \in\{-\infty, ...,n\}$ such that $a_k<b_k$ while $a_t=b_t, t\in\{k+1,...,n\}$. With $f(x)$ tenemos $$(a_na_{n-1}...a_0\color{red}{,}a_{-1}a_{-2}\color{blue}{000}a_{-3}\color{blue}{00000000000000000}a_{-4}\color{blue}{00...}a_{-m}...)_2 < (b_nb_{n-1}...b_0\color{red}{,}b_{-1}b_{-2}\color{blue}{000}b_{-3}\color{blue}{00000000000000000}b_{-4}\color{blue}{00...}b_{-m}...)_2$$

Nota 1: he restringido la función de a $\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$, pero puede ser extendido, teniendo en cuenta el signo de $x$.

Nota 2 Como por los comentarios de abajo, enteros y racionales son números algebraicos. Para superar esta parte, podemos aplicar estos trucos $$(x_nx_{n-1}...x_0)_2=((x_nx_{n-1}...x_0-1)\color{red}{,}11111...)_2$$ y $$(x_nx_{n-1}...x_0\color{red}{,}x_{-1}x_{-2}...x_{-m})_2=(x_nx_{n-1}...x_0\color{red}{,}x_{-1}x_{-2}...(x_{-m}-1)11111...)_2$$ conduce a los números de Liouville en todos los casos.

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Ahora ¿por qué es posible, porque no todos los reales son computables.