¿Hay alguna forma de encontrar esta área sombreada sin cálculo?

Question

Este es un problema popular que se está extendiendo. Resuelve el área rojiza/anaranjada sombreada. (más precisamente: el área en color hex #FF5600)

$ABCD$ es un cuadrado con un lado de $10$, $APD$ y $CPD$ son semicírculos, y $ADQB$ es un cuarto de círculo. El problema es encontrar el área sombreada $DPQ$.

Logré resolverlo con geometría de coordenadas y cálculo, y verifiqué la respuesta exacta con un cálculo numérico en Desmos.

En última instancia, el resultado son 4 términos y no muy complicados. Así que me preguntaba: ¿Hay alguna forma de resolver esto usando trigonometría? Quizás hay una forma de descomponer las formas que no estoy viendo.

Hace unos años hubo un problema "Encuentra el área sombreada" similar para estudiantes chinos. Pude resolver eso sin cálculo, aunque fue un cálculo bastante complicado.

Divulgación: Yo dirijo el canal de YouTube MindYourDecisions. Planeo publicar un video sobre este tema. Estoy bien publicando solo la solución de cálculo, pero sería bueno publicar una usando solo trigonometría ya que muchos no han tomado cálculo. Daré el crédito adecuado a quien ayude, ¡gracias!

Actualización: ¡Gracias por la ayuda de todos! Preparé un video para esto y presenté 3 métodos para resolverlo (la forma corta como la respuesta de Achille Hui, una forma un poco más larga como la respuesta de David K y Seyed, y una tercera forma usando cálculo). Agradecí a esas personas en el video en pantalla, mira alrededor de 1:30 en este enlace: https://youtu.be/cPNdvdYn05c.

Answer 1

El área es igual a la diferencia entre el área de dos lentes.

Es fácil encontrar el área de lentes como la que hice en esta pregunta anterior: Cómo encontrar el área sombreada

Answer 2

El área se puede simplificar a $75\tan^{-1}\left(\frac12\right) - 25 \approx 9.773570675060455 $.

Se reduce a encontrar el área de la lente $DP$ y $DQ$ y tomar la diferencia.

Lo que necesitas es el área de la lente formada por la intersección de dos círculos, uno centrado en $(a,0)$ con radio $a$, otro centrado en $(0,b)$ con radio $b$. Se representa por la expresión.

$$\begin{align}\Delta(a,b) \stackrel{def}{=} & \overbrace{a^2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)}^{I} + \overbrace{b^2\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)}^{II} - ab\\ = & (a^2-b^2) \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) + \frac{\pi}{2} b^2 - ab \end{align} $$

En la expresión anterior,

• $I$ es el área del sector circular abarcado por la lente en $(a,0)$ (como un casco convexo).
• $II$ es el área del sector circular abarcado por la lente en $(0,b)$ (como un casco convexo).
• $ab$ es el área de la unión de estos dos sectores, un rombo ortogonal con lados $a$ y $b$.

Aplicando esto al problema en cuestión, obtenemos

$$\begin{align}\verb/Area/(DPQ) &= \verb/Area/({\rm lens}(DQ)) - \verb/Area/({\rm lens}(DP))\\[5pt] &= \Delta(10,5) - \Delta(5,5)\\ &= \left((10^2-5^2)\tan^{-1}\left(\frac12\right) + 5^2\cdot\frac{\pi}{2} - 5\cdot 10\right) - \left( 5^2\cdot\frac{\pi}{2} - 5^2\right)\\ &= 75\tan^{-1}\left(\frac12\right) - 25 \end{align} $$

Answer 3

Por diversión, hice el viejo truco del químico de imprimir el diagrama, cortarlo en pedazos y luego pesar las piezas en una balanza de miligramos. ¡Sin cálculos!

El diagrama total pesó 720 mg, y la astilla pesó 77 mg. Entonces, $\frac{77\,\mathrm{mg}}{720\,\mathrm{mg}}\cdot 10^2\,\mathrm{cm}^2\approx 10.7\,\mathrm{cm}^2$ es el área estimada. Esto es aproximadamente un $9.5\%$ mayor que la solución analítica. No está tan mal, pero aún no es bueno para algo rápido.

Una fuente de error fue el peso adicional del tóner en la astilla, que imprimió bastante gris oscuro. Si supiera dónde están mis compases, podría hacer una construcción más precisa.

Answer 4

Sea $E$ el punto medio del borde $CD.$ Entonces $\triangle ADE$ y $\triangle AQE$ son triángulos rectángulos congruentes, y encontramos que $\angle DAQ = 2\arctan\left(\frac12\right).$ Además, $\angle CEQ = \angle DAQ$ y por lo tanto $\angle DEQ = \pi - 2\arctan\left(\frac12\right).$ Y por supuesto, cada uno de los arcos desde $D$ hasta $P$ tiene ángulo $\frac\pi2.$

Conociendo el radio y el ángulo de un arco, puedes encontrar el área del segmento circular delimitado por el arco y la cuerda entre los extremos del arco sin cálculo. El área de la región roja es la suma de las áreas de los segmentos delimitados por los arcos entre $D$ y $Q,$ menos la suma de las áreas de los segmentos delimitados por los arcos entre $D$ y $P.$ Nota que uno de los arcos desde $D$ hasta $Q$ tiene radio $10$, pero los otros tres arcos tienen radio $5.$

Answer 5

La solución completa se puede ver aquí: https://youtu.be/4Yrk-UNfAis