a). Supongamos $a\ne 0$ y es nilpotent, es decir, hay un $n>1$ tal que $a^n=0,\:a^{n-1}\ne 0$. Existe $x\in R$ tal que $a^2x=a$. Pero $0=a^nx=a^{n-2}a^2x=a^{n-1}\ne0$, que es la contradicción. Por lo $R$ no tiene un valor distinto de cero nilpotent elementos.
b). Si $axa−a\ne0$, luego
$$
(axa−a)^2=\underbrace{axaaxa}_{aax=a}-^2xa-axa^2+a^2=axa^2-a^2-axa^2+a^2=0
$$
es decir, $axa−a$ es nilpotent y por a) es imposible. Por lo $axa=a$.
d). Por b), $axax=axa\cdot x=ax$. Por lo $ax$ es idempotente. Podemos demostrar que $ax$ está en el centro de la $R$.
Para cualquier $z\in R$, hay
\begin{align}
(axz-axzax)^2&=axzaxz-axzaxzax-\underbrace{axzaxaxz}_{axax=ax} +axzaxaxzax
\\
&=axzaxz-axzaxzax-axzaxz+axzaxzax
\\
&=0
\end{align}
Así que por una), $axz=axzax$. De nuevo por cualquier $z\in R$
\begin{align}
(zax-axzax)^2&=zaxzax-\underbrace{zaxaxzax}_{axax=ax}-axzaxzax+axzaxaxzax
\\
&=zaxzax-zaxzax-axzaxzax+axzaxzax
\\
&=0
\end{align}
Así que por una), $zax=axzax=axz$, es decir, $ax$ está en el centro de la $R$.
Por otra parte $xaxa=x\cdot axa=xa$. Por lo $xa$ es idempotente. Del mismo modo, podemos demostrar que $xa$ está en el centro de la $R$.
c). Desde
$$
(ax-xa)^2=axax-\underbrace{axxa}_{x\cdot xa=xa\cdot x}-\underbrace{xaax}_{aax=a}+xaxa=axax-axax-xa+xa=0
$$
Así que por una), $ax=xa$.
e). Esto es sugerido por Mirko el comentario.
Deje $y=xax$. Entonces
$$
un^2y=a^2 xax=aax=un
$$
Por otra parte
$$
ay=axax=\underbrace{xaax}_{a\cdot xa=xa\cdot}=\underbrace{xaxa}_{a\cdot ax=ax\cdot}=ya
$$
Y
$$
y^2a=\underbrace{xaxxaxa}_{axa=a}=\underbrace{xaxxa}_{x\cdot xa=xa\cdot x}=xaxax=xax=y
$$
f). Deje $u=1+y-ay$. Entonces
$$
aua=a(1+y-ay)=a^2+\underbrace{aya}_{ay=ya}-\underbrace{a^2ya}_{a^2y=a}=a^2+a^2y-a^2=a
$$
