G es un grupo de orden pq, pq son primos

Question

Problema.

Sea $G$ sea un grupo de orden $pq$ tal que $p$ y $ q$ son números enteros primos.

Debo demostrar que todo subgrupo propio de $G$ es cíclico.

Mi intento.

Lo que sé: Cualquier elemento $a$ divide $pq$ y $a^{pq} = e$ .

El orden de los subgrupos $H$ dividir $pq$ por Lagrange.

Si pudiera demostrar que $G$ es cíclico, entonces todos los subgrupos deben ser cíclicos.

Si puedo demostrar que $G$ es un grupo de orden primo, entonces puedo demostrar que es cíclico.

No estoy seguro de qué más puedo hacer aquí... He intentado mirar el Pequeño Teorema de Fermat pero parece que no puedo entenderlo bien y cómo podría afectar a mi problema....

Answer 1

Pista: Todo subgrupo propio no trivial tiene órdenes primos.

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Si $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_t^{a_t}$ donde $p_i$ son primos diferentes, entonces los únicos divisores de $n$ son de la forma $p_1^{b_1}p_2^{b_2}\dots p_t^{b_t}$ donde $0\leq b_i \leq a_i$ para todos $i=1,2,\dots,t$ .