Cómo probar que$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits _{a}^{b}\sin\left(nt\right)f\left(t\right)dt=0\text { ? }$

Question

Deje $f:\left[a,b\right]\to\mathbb{R}$ ser una función que es derivado a fin de que $f'$ es continua entonces $$ \lim_{n\to\infty}\int\límites de _{a}^{b}\sin\left(nt\right)f\left(t\right)dt=0 $$

Mi intento: quiero mostrar que la $\forall\epsilon>0 \ \exists \ n_0 \in \mathbb{N}$, de modo que $\forall n>n_0 \ \ \ \left|\int\limits _{a}^{b}\sin\left(nt\right)f\left(t\right)dt\right|<\epsilon$. Vamos a no ser $\epsilon>0$ porque $f$ $\sin$ son derivados y $f'$ es continua podemos utilizar la integración por partes, de manera que $$ \left|\int\límites _{a}^{b}f'\left(t\right)\sin\left(nt\right)dt\right|=\left|\left[f\left(t\right)\sin\left(nt\right)\right]_{a}^{b}-n\int\los límites de _{a}^{b}f\left(t\right)\cos\left(nt\right)\right|\leq\left|\left[f\left(t\right)\sin\left(nt\right)\right]_{a}^{b}\right|+\left|n\int\los límites de _{a}^{b}f\left(t\right)\cos\left(nt\right)\right| $$

Esa es mi idea principal. alguna sugerencia?

Answer 1

Buena idea. Usted acaba de hacer el mal integración por partes. En su lugar $$ \int_a^b\sin(nt)f(t)dt=\frac{-\cos(nt)f(t)}{n}\Big|_a^b+\frac{1}{n}\int_a^b\cos(nt)f'(t)dt. $$ Ahora es fácil ver por qué el lado derecho tiende a $0$.

Nota: esto se desprende de Riemann-Lebesgue lema tan pronto como $f$ es Lebesgue integrable sobre el intervalo. Pero, en realidad, una buena prueba de esto último va por la prueba de $C^1$ funciones y, a continuación, utilizando su densidad en $L^1$. Riemann-Lebesgue tiene sin límites de los intervalos. A continuación, se puede considerar de forma compacta compatibles $C^1$ funciones.

Los coeficientes de Fourier: en el caso de integrar en un intervalo de longitud de $2\pi$, se obtiene un coeficiente de Fourier de $f$. Así que en general, cuando se $f$ es integrable, los coeficientes de Fourier tienden a $0$. Pero lo que vemos aquí es que cuando se $f$$C^1$, los coeficientes se $o\big(\frac{1}{n}\big)$. Y como este, el más regular de la función, el más rápido de los coeficientes convergen a $0$. Si $f$$C^k$, los coeficientes se $o\big(\frac{1}{n^k} \big)$.

Answer 2

Para futuras referencias, este es un caso especial de la de Riemann Lebesgue Lema (bueno, esta es la de Riemann Lebesgue Lema, la verdad). Afirma:

T Deje $f:[a,b]\to\Bbb R$ ser Riemann integrable sobre $[a,b]$. A continuación, $$\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^b f(t)\sin\lambda t dt=0$$

P en Primer lugar, observar esto es cierto para la constante de funciones, desde la $$\int_a^b K\sin\lambda tdt=K\frac{-\cos(\lambda b)+\cos(\lambda a)}{\lambda}\to 0$$

De ello se deduce que también es cierto para una función de paso, es decir, una función constante a trozos, dicen $$s(x)=\sum_{i=1}^n s_i{\bf 1}_{X_i}$$ where the $X_i=[x_{i-1},x_i]$ are subintervals of $[a,b]$, since $$\int_a^b s(t) \sin\lambda tdt=\sum_{i=1}^n s_i\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda tdt$$

Deje $\epsilon >0$ ser dado. Desde $f$ es Riemann integrable existe una función de paso de $s\leq f$ definido en $[a,b]$ tal que $$\int_a^b f-\int_a^b s<\frac{\epsilon}2$$

Desde el lema es cierto para el paso de las funciones, no existe $M$ tal que $\lambda>M$ implica $$\left| {\int_a^b {s\left( t \right)\sin \lambda tdt} } \right|<\frac{\epsilon}2$$

Pero $$\begin{align} \left| {\int_a^b f (t)\sin \lambda tdt} \right| &= \left| {\int_a^b {\left( {f(t) - s\left( t \right) + s\left( t \right)} \right)\sin \lambda tdt} } \right| \\ &\leq \left| {\int_a^b {\left( {f(t) - s\left( t \right)} \right)\sin \lambda tdt} } \right| + \left| {\int_a^b {s\left( t \right)\sin \lambda tdt} } \right| \\ &\leq \int_a^b {\left| {f(t) - s\left( t \right)} \right|dt} + \left| {\int_a^b {s\left( t \right)\sin \lambda tdt} } \right| \\ &= \int_a^b {\left( {f(t) - s\left( t \right)} \right)dt} + \left| {\int_a^b {s\left( t \right)\sin \lambda tdt} } \right| \\ &< \frac{\epsilon }{2} + \frac{\epsilon }{2} = \epsilon \end{align} $$

por lo que el teorema está demostrado. $\blacktriangle$.

Answer 3

Estás integrando lo incorrecto por partes. Use la técnica en la expresión real de la que desea el límite, diferenciando$f$ e integrando$\sin$ para obtener un$1/n$ que es pequeño.

Luego intente delimitar lo que se multiplica por algo finito. Una estimación muy cruda hará!