Gracias a @user26857, por su gran sugerencia.
Asumir
\begin{equation}
f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 , \quad
g(x) = b_m x^m + b_{n-1} x^{n-1} + \cdots + b_0 ,
\end{equation}
y $n \ge m$, $a_n \ne 0 \ne b_m$.
Tenemos $\text{LM}(f)=x^n$$\text{LM}(g)=x^m$.
Llamamos a $L= \text{LCM}[ \, \text{LM}(f), \text{LM}(g)] = x^{n}$.
Entonces, por definición
\begin{eqnarray}
S(f,g) &=& \frac{L}{\text{LT}(f)} f - \frac{L}{\text{LT}(g)} g \\
&=& \frac{x^n}{a_n x^n} f - \frac{x^n}{b_m x^m} g \\
&=& \frac{1}{a_n} \left (
f - \frac{ a_n x_n}{b_m x^m}g \right) \\
&=& \frac{1}{a_n}
\left (f - \frac{\text{LT}(f)}{\text{LT}(g)} g
\right )
\end{eqnarray}
Por otro lado, el primer paso en el algoritmo de Euclides es el
la división de $f$$g$. Este paso se logra mediante la búsqueda de la
resto
\begin{equation}
r_1 = f - \frac{\text{LT}(f)}{{\text{LT}(g)}} g .
\end{equation}
Ajuste de la $1/a_n$ a un lado (hasta una multiplicación por escalares cualquiera distinto de cero
varios de los GCD$(f,g)$ Gr\"{o}hübner base de miembro)
tenemos que $S(f,g)=r_1$. Si $\text{deg}(r_1) < \text{deg}(f)$ hemos terminado con este resto, de lo contrario, nos mantenemos a la reducción de hasta $\text{deg}(r_1) < \text{deg}(f)$.
El algoritmo de Buchberger comienza con $G=\{f, g \}$, y luego,
si $r_1 \ne 0$, add (añadir) $r$$G$.
Que es $G = \{f, g , r_1 \}$. El siguiente paso es reducir el $r_1$
con respecto
a $G$. Desde $\text{deg}(r_1) < \text{deg}(f)$, sólo tenemos que reducir
$r$ con respecto al $g$. Es decir, dividimos $r$$g$, y seguir haciendo
esto hasta que $r_n=0$. (No podemos demostrar que el algoritmo termina. Es lo que hace.
Ese no es el propósito de este ejercicio). Entonces
$G=\{f, r_1, \dots, r_{n-1} \}$. Nos encontramos con que
$\text{GCD}(f,g)=r_{n-1}$, y se encuentra como si estuviéramos haciendo el algoritmo de Euclides en lugar de el algoritmo de Buchberger.
Que $G$ puede ser reducido a $G=\{r_{n-1} \}= \{ \text{GCD}(f,g)\}$ es otra historia.
