Relación de incertidumbre para la observación no simultánea.

Question

Heisenberg de la incertidumbre de la relación en el Robertson-Schroedinger formulación se escribe como,

$$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq |\frac{1}{2} \langle\{\hat A, \hat B\}\rangle -\langle \hat A\rangle\langle \hat B\rangle|^2+|\frac{1}{2}\rangle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 $$ donde $\sigma_A^2 = \langle\psi|(\hat A-\langle \hat A \rangle)^2 |\psi\rangle$ $\sigma_B^2 = \langle\psi|(\hat B-\langle \hat B \rangle)^2 |\psi\rangle$ calculado en el mismo estado $\psi$ para ambos observables $\hat A$$\hat B$.

Ahora mi pregunta es, ¿qué pasa al otro lado de la desigualdad si queremos calcular una varianza para el estado de $\psi(t)$ y, a continuación, dejar que el estado evolucionar a $\psi(t+\delta t)$ y ahora calcular el resto de la variación en el producto. En otras palabras, ¿cuál es la QM límite inferior de este producto: $$ \langle {\psi(t)|(\hat A -\langle \hat A\rangle)^2|\psi(t)\rangle} ~\langle {\psi(t+\delta t)|(\hat B -\langle \hat B\rangle)^2|\psi(t+\delta t)\rangle} $$ for arbitrary $\delta t$ and $\psi(t)$ is evolving according to the time-dependent Schroedinger equation $$\hat H \psi(t)=i \hbar\frac{\partial \psi(t)}{\partial t}~?$$

Answer 1

En primer lugar, expandiendo el operador tenemos \begin{equation} \langle (\hat{A}- \langle\hat{A}\rangle )^2\rangle = \langle\hat{A^2}\rangle - \langle A\rangle^2\end {equation} Ahora, deje que$|a\rangle$ sea un estado propio de$\hat{A}$ con valor propio$a$. luego tenemos \begin{align} \langle a|\hat{A}^2|a\rangle = a^2 =& \langle a|\hat{A}|a\rangle^2\\ \Rightarrow \langle (\hat{A}- \langle\hat{A}\rangle )^2\rangle =& 0 \end {align} Dado que la varianza de un operador es positiva definida, esto da el límite inferior para su expresión es$0$ y se puede lograr este límite inferior.