Resolviendo un escalar no lineal Ito SDE

Question

Necesito resolver el SDE:$$ dX_t = (X_t)^3 dt + (X_t)^2 dW_t ; X(0)=1 $ $

Ahora lo que encontré es que se trata de un SDE de la forma:$$dXt =a(X_t)dt+b(X_t)dW_t$ $ donde$a(x) = \frac{1}{2} b(x)b′(x)$

Usando la sustitución$y = h(x) = \int_{x} {\frac{ds}{b(s)}}$

obtenemos el SDE escalar lineal reducido$dY_t = dW_t$

Por lo tanto,$X_t= \frac{1}{1-W_t}$.

Ahora mi problema es que estoy obteniendo$dY_t=X_t dt + dW_t$. ¿Alguien puede explicar cómo es$dY_t = dW_t$?

Answer 1

Establezca$a(x) := x^3$ y$b(x) := x^2$, luego

PS

Ahora recuerde que la fórmula de Itô establece$$Y_t := \int_{X_0}^{X_t} \frac{ds}{b(s)} = \left[ - \frac{1}{x} \right]_{X_0}^{X_t} = 1- \frac{1}{X_t}.$ $

dónde

PS

para cualquier función "agradable"$$f(X_t) -f(X_0) = \int_0^t f'(X_s) \, dX_s + \frac{1}{2} \int_0^t f''(X_s) b^2(X_s) \, ds$. Para$$\int_0^t f'(X_s) \, dX_s = \int_0^t f'(X_s) \, a(X_s) \, ds + \int_0^t f'(X_s) b(X_s) \, dW_s \tag{1}$, obtenemos

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Finalmente, usando$f$, obtenemos

PS

es decir,$f(x) := - x^{-1}$.

Answer 2

Dejar $f(x)=\frac{1}{x}$. Entonces y $f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$. Ahora, usamos Ito Lemma para la función$f''(x)=\frac{2}{x^{3}}$ y el proceso estocástico$f(x)$ con la siguiente dinámica$X_{t}$ $

Tenemos

$$ dX_t =X_{t}^{3} dt + X_{t}^{2} dW_t, \qquad X_{0}=1 $ $$$df(X_{t})=f'(X_{t})dX_{t}+\frac{1}{2}f''(X_{t})dX_{t}dX_{t}$ $$$=-\frac{1}{X_{t}^{2}}\cdot dX_{t}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{X_{t}^{3}}\cdot dX_{t}dX_{t}$ $

porque $$=-\frac{1}{X_{t}^{2}}\biggl(X_{t}^{3} dt + X_{t}^{2} dW_t\biggr)+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{X_{t}^{3}}\cdot X_{t}^{4}dt=-dW_{t}$. Esto significa que

PS

y esta es una notación abreviada para la siguiente expresión

PS

asi que

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Ahora, usando ese$dX_{t}dX_{t}=X_{t}^{4}dt$ y$$d\biggl(\frac{1}{X_{t}}\biggr)=-dW_{t}$, tenemos

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así que finalmente

PS