Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico de orden $m$ generado por un elemento $a$ . Quiero demostrar que el orden de $a^k$ es $m/d$ , donde $d:=\gcd(k,m)$ . Tengo una prueba sencilla, pero quiero asegurarme de que no he pasado nada por alto ya que las otras pruebas que he visto (como en Dummit y Foote) parecen más complicadas.
El orden de $a^k$ es la cardinalidad del conjunto $\{a^{ks}: s \in \mathbb{Z}\}$ que es igual a la cardinalidad del conjunto $\{a^{ks} a^{mt}: s,t \in \mathbb{Z} \}$ desde $a^m$ es la identidad. Pero el conjunto $\{ks+mt: s,t \in \mathbb{Z} \}$ es el conjunto $d \mathbb{Z}$ por las propiedades básicas de los números enteros. Así tenemos que la cardinalidad del conjunto es $| \langle a^k \rangle| = |\{1, a^d, a^{2d}, \ldots, a^{m-d} \}| = m/d$ .
