Por qué

Question

Que $A$ sea un subconjunto del dominio de una función $f$. Por qué $f^{-1}(f(A)) \not= A$. No he podido encontrar una función $f$ que satisface la ecuación anterior. Puede dar un ejemplo o sugerencia. Estaba pidiendo de una función de ejemplo que no se trata aquí

Answer 1

Cualquier noninjective función proporciona un contraejemplo. Para ser más específicos, vamos a $X$ ser cualquier conjunto con al menos dos elementos, $Y$ cualquier conjunto no vacío, $u$ en $X$, $v$ en $Y$, e $f:X\to Y$ definido por $f(x)=v$ por cada $x$$X$. A continuación, $A=\{u\}\subset X$ es tal que $f(A)=\{v\}$ por lo tanto $f^{-1}(f(A))=X\ne A$.

En general, para $A\subset X$, $A\subset f^{-1}(f(A))$ pero el otro inclusión puede fallar, excepto cuando se $f$ es inyectiva.

Otro ejemplo: definir $f:\mathbb R\to\mathbb R$ $f(x)=x^2$ por cada $x$. A continuación, $f^{-1}(f(A))=A\cup(-A)$ por cada $A\subset\mathbb R$. Por ejemplo, $A=[1,2]$ rendimientos $f^{-1}(f(A))=[-2,-1]\cup[1,2]$.

Answer 2

En primer lugar, significa, para una función $f:X\to Y$ y un subconjunto $A\subset X$, por qué es que $f^{-1}(f(A))\ne A$. Tenga en cuenta que para describir una función debe tener claro su dominio y el codomain.

Ahora, pruebe esto: $X=Y=\mathbb N$ y $f:X\to Y$ de $f(n)=1$. Para el conjunto de $A={1}$ para calcular $f^{-1}(f(A))$.

Answer 3

Dar que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f(x)=1$ $x\geq 0$ y $f(x)=0$ de $x

Answer 4

Si $f:X\longrightarrow Y$ no es inyectiva y $A\subset X$. Luego tomar $x \in X-A$ $f(x)=f(a)$ $a\in A$ entonces nos tienen que $x\in f^{-1}(f(A))$ aunque $x\not \in A$.