Limitar con Integral en el mismo

Question

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\displaystyle \int_0^x \sin \left(\pi t^2/2\right) dt}{x^3}$ $ Estoy teniendo problemas tratando de encontrar la manera de calcular el límite.

¿Tengo que tomar la integral primera y tomar el límite?

Answer 1

También puede utilizar $\sin x=x+O(x^3)$ para obtener el límite. De hecho\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\int0^x\sin(\pi t^2/2)dt}{x^3}= \lim{x\to 0}\frac{\int0^x(\pi t^2/2+O(t^6))dt}{x^3}=\lim{x\to 0}\frac{\pi x^3/6+O(x^7)}{x^3}=\pi/6. \end{eqnarray }

Answer 2

Sugerencia: Puede utilizar la regla de L'Hospital

Answer 3

Sugerencia: el Uso de L'Hospital de la Regla, usando el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la derivada de la parte superior.

Observación: La función de $\sin x^2$ no tiene primaria antiderivada, por lo que una estrategia basada en la evaluación de la integral no tendrá éxito.

Pero hay una buena alternativa a L'Hospital de la Regla. Usar el poder de expansión de la serie de $\sin x$ a encontrar el poder de expansión de la serie de $\sin(\pi t^2/2)$. Luego de integrar término a término. La respuesta a su problema de límite de pop.

El primer término en el poder de expansión de la serie de $\sin x$$x$. Sustituto $\pi t^2/2$, e integrar de$0$$x$. Llegamos $\pi x^3/6$. El resto de los términos de potencia de la serie son insignificantes en comparación de $x$ cerca de $0$. Por lo que el límite del cociente es $\pi/6$.