Complejo Conjugado de Integral

Question

Quiero saber que la igualdad $$\overline { \int_ { \mathbb R} f(x)dx} = \int_ { \mathbb R} \overline {f(x)}dx$$ se mantiene, si ambas integrales convergen. Aquí $f: \mathbb R \ni x \mapsto f(x) \in \mathbb C$ .

Answer 1

Dejemos que $f=a+ib$ . Si las integrales de abajo existen, entonces

$$\int_{\mathbb R} f(x)dx = \int_{\mathbb R} a(x) \ dx+i\int_{\mathbb R} b(x) \ dx$$

y

$$\overline {\int_{\mathbb R} f(x)dx}= \int_{\mathbb R} a(x) \ dx-i\int_{\mathbb R} b(x) \ dx =\int_{\mathbb R} a(x)-ib(x)\ dx=\int_{\mathbb R} \overline{f(x)}\ dx.$$