¿Cómo aplico el factor de integración para resolver esta ecuación diferencial?

Question

PS

Intenté encontrar la solución general dividiendo ambos lados por$$x \frac{dy}{dx} + y = -2x^6y^4$ o$x$ pero no puedo obtener una solución ... ¿Lo soluciono con un factor de integración?

Answer 1

En lugar de buscar un factor de integración, ¿por qué no dejas que$z(x):=xy(x)$?

Luego, la EDO se puede escribir como$$z' = -2x^2z^4.$ $ Ahora, separe las variables e intégrelas. ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 2

PS

Divida por$$x \frac{dy}{dx} + y = -2x^6y^4$ y deje que$y^4$ obtenga una ecuación lineal en$u=y^{-3}$ en función de$u$.

Answer 3

Contrariamente a las otras respuestas, usted PUEDE encontrar un factor de integración y manipular su ODA a través de sustituciones.

Tenemos la ODA :

$$xy' + y = -2x^6y^4$$

Dividir ambos lados por $-\frac{1}{3}xy^4$, rendimiento :

$$-\frac{3y'}{y^4} - \frac{3}{xy^3} = 6x^5$$

Deje $v(x) = \frac{1}{y^3(x)}$ y, a continuación, esto da $v'(x) = -\frac{3y'(x)}{y^4(x)} $ y, a continuación, la ecuación diferencial se convierte en :

$$v'(x) - \frac{3v(x)}{x} = 6x^5$$

Deje $μ(x) = e^{\int -\frac{3}{x}\rm d x} = \frac{1}{x^3}$ y, a continuación, se multiplican ambos lados por $μ(x)$ :

$$\frac{v'(x)}{x^3}-\frac{3v(x)}{x^4}=6x^2$$

Sustituyendo $-\frac{3}{x^4}=\big(\frac{1}{x^3}\big)'$ tenemos :

$$\frac{v'(x)}{x^3}-\bigg(\frac{1}{x^3}\bigg)'v(x)=6x^2$$

Ahora, vamos a aplicar la inversa del producto de la regla : $f\frac{\rm d g}{\rm d x}+g\frac{\rm d f}{\rm dx} = \frac{\rm{d}}{\rm d x}(f\;g)$ :

$$\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg(\frac{v(x)}{x^3}\bigg)\mathrm{d}x=\int6x^2\mathrm{d}x \implies v(x) = x^3(2x^3+c_1)$$

Ahora, usted puede substituir $v(x) = \frac{1}{y^3(x)}$ y resolver para $y(x)$ para producir el resultado final.

Answer 4

Ya es un derivado, por lo que no necesita un factor de integración.$(\mu =1)$$$x \frac{dy}{dx} + y = -2x^6y^4$ $$$ \implies (xy)'= -2x^2(xy)^4$ $ Luego integre$$ \implies \int \frac {d(xy)}{(xy)^4}= -2\int x^2 dx$ $

Answer 5

Por inspección el LHS es

$$xy'+y=(xy)'$$ hence the change of variable $ z = xy $,

$$z'=-2x^2z^4$ $ que es una ecuación separable.

PS