$C^{2,1}(\Omega)$ generalmente se refiere al conjunto de funciones que son $C^2$ en $\Omega$ con respecto a la primera variable, y $C^1$ con respecto a la segunda.
En caso de tener números "fraccionarios", generalmente se refiere a la condición Holder como se menciona en la otra respuesta.
Decimos que un cierto dominio (abierto y convexo) $\Omega$ es $C^2$ si se cumplen ciertas condiciones específicas[0]; básicamente te dice que localmente, el borde de $\Omega$ puede ser representado por el gráfico de cierta función $C^2$.
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Definición formal
Decimos que $\Omega$ es un dominio $C^1$ si para cada $x \in \partial \Omega$, existe un sistema de coordenadas $(y_1, \dots, y_n) \equiv (\bar y', y_n)$ con origen en $x$, una esfera $B(x)$ y una función $\varphi$, definida en un vecindario $\mathcal N \subset \mathbb R^{n-1}$ de $\bar y' = 0$, tal que
$$\varphi \in C^1(\mathcal N), \varphi(0) = 0$$ $$\partial \Omega \cap B(x) = \{(\bar y', y_n): y_n = \varphi(\bar y'), \bar y' \in \mathcal N\}$$ $$\Omega \cap B(x) = \{(\bar y', y_n): y_n > \varphi(\bar y'), \bar y' \in \mathcal N\}$$
La segunda condición refleja el hecho de que $\partial \Omega$ es localmente el gráfico de una función $C^1$, y la tercera que $\Omega$ está localmente en el mismo lado con respecto a $\partial \Omega.
Si desea un dominio $C^2$ o un dominio de Lipschitz, reemplace el $C^1$ anterior con el espacio correspondiente de funciones ;-)
P.D. Definición tomada de "Ecuaciones diferenciales parciales" por Salsa
