Construcción de la base para la Topología del Producto

Question

En un libro que leí lo siguiente:

Sea $(E_i, \mathcal{T}_i)_{i\in I}$ una familia de espacios topológicos, y sea $E = \prod_{i\in I} E_i$ el producto cartesiano de los $E_i$'s. Denotemos por $\pi_i$ la proyección natural de $E$ en $E_i$, definida por $\pi_i((e_j)_{j\in I} = e_i$. La topología del producto en E es la topología generada por la base que consiste en las intersecciones finitas de conjuntos de la forma $\pi^{-1}_i(X_i)$ donde $X_i$ es un conjunto abierto de $E_i$. Estos conjuntos no son otra cosa que los productos $\prod_{i\in I} X_i$ donde los $X_i$ son conjuntos abiertos de $E_i$ y donde $X_i = E_i$ excepto para un número finito de índices.

No entiendo por qué los conjuntos de intersecciones finitas de los $\pi_i^{-1}(X_i)$ son de la forma $\prod_{i\in I} X_i$ con $X_i = E_i$ frecuentemente. Porque por ejemplo, el conjunto $\pi_i^{-1}(X_i)$ está en el conjunto de intersección finita, pero bien podría contener un elemento $X = \prod_{j\in I} X_j$ donde todos los $X_j \ne E_j$ siempre que $\pi_i(X) = X_i$. Entonces, ¿por qué se sigue que $X_j = E_j$ infinitamente a menudo?

Answer 1

Piense en cómo se ven cada uno de los elementos generadores $\pi_i^{-1} (X_i)$ en el caso en que cada uno de sus $E_i = \Bbb R$ y $X_i$ sea un intervalo abierto. Sus conjuntos abiertos se parecen a cosas de la forma $$\Bbb R \times \Bbb R \times \dots \times (a,b) \times \dots \times \Bbb R \times \Bbb R \times \dots$$

Las intersecciones finitas de tales conjuntos solo te darán un número finito de intervalos en cualquier lugar, pero la mayoría de los conjuntos en el producto seguirán siendo $\Bbb R$.

Answer 2

$$\pi_i^{-1}(X_i)=E_1\times E_2\times ... \times X_i\times E_{i+1}\times...$$ Si intersectamos finitamente muchas de estas, digamos con índices $1..k$, para simplificar la escritura, obtenemos $$\pi_1^{-1}(X_1)\cap \pi_2^{-1}(X_2)\cap..\cap \pi_k^{-1}(X_k)=X_1\times..\times X_k\times E_{k+1}\times E_{k+2}\times...$$ (También es necesario que, para el mismo índice, tengamos $\pi_i^{-1}(X_i)\cap\pi_i^{-1}(Y_i)=\pi_i^{-1}(X_i\cap Y_i)$.)