¿Cuándo podemos recuperar una topología de sus conjuntos conectados?

Question

Definición. Deje $X$ denotar un conjunto. Siempre que $\tau$ es una topología en $X$, escribir $\tilde{\tau}$ para la colección de subconjuntos de a $X$ que se conectan desde el punto de vista del espacio de $(X,\tau)$.

En general, no podemos recuperar$\tau$$\tilde{\tau}$. Por ejemplo, supongamos $\tau$ denotar la topología usual en $\mathbb{Q}$, e $\sigma$ denotar la topología discreta en $\mathbb{Q}$. A continuación,$\tilde{\tau} = \tilde{\sigma}$, pero $\tau \not = \sigma$.

Me pregunto si se pueden utilizar conexión local para deshacerse de este problema.

Pregunta. Deje $X$ denotar un conjunto. Supongamos $\tau$ $\sigma$ son topologías en $X.$ Supongamos $(X,\tau)$ $(X,\sigma)$ están conectados localmente espacios. De $\tilde{\tau} = \tilde{\sigma}$, podemos deducir $\tau = \sigma$?

Si no, podemos reemplazar local de conexión con algo más, así que de $\tilde{\tau} = \tilde{\sigma}$, podemos deducir $\tau = \sigma$?

Answer 1

Aquí está la explicación de mi anterior comentario.

Dado un espacio topológico $(X,\tau)$ y un punto de $x'\notin X$, podemos definir el conjunto $X'=X\cup \{x'\}$ y la topología $\tau'$ $X'$ como sigue:

Elementos de $\tau'$ son el conjunto vacío y todos los subconjuntos de la forma $U\cup \{x'\}$, $U\in \tau$. Entonces es fácil ver que $(X',\tau')$ está conectado localmente: Si $V$ es cualquier elemento no vacío de a $\tau'$, que contiene el punto de $x'$ y, por lo tanto, está conectado.

Ahora, tomemos su ejemplo: $X={\mathbb Q}$, $\tau_1$ es la topología discreta en $X$ $\tau_2$ es el estándar de la topología en $X$. Como en el anterior, podemos definir los espacios topológicos $(X', \tau_i'), i=1, 2$, $X'=X\cup \{x'\}$. Ambos están conectados localmente. El dispositivo conectado no vacía de subconjuntos de ambos $(X', \tau_1'), (X',\tau_2')$ son exactamente los únicos en $X$ así como de todos los subconjuntos de la forma $Z\cup \{x'\}$, $Z\subset X$ arbitrario.

Por lo tanto, se puede obtener dos conectados localmente topologías sobre el mismo conjunto que comparten la misma colección de conectado subconjuntos.

No me gusta especialmente este ejemplo, puesto que no es Hausdorff.

Answer 2

La respuesta a tu primera pregunta es NO.

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$T_0$ $T_1$ (ver mi comentario de abajo @studiosus la respuesta) ejemplos se han dado.

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$T_2+regular$ ejemplo: supongamos $X=[0,1]\times[0,1)$. Podemos definir topologías $\sigma$ $\tau$ $X$ mediante la especificación de una base para cada uno. $\\$

$\sigma$: Vecindad de un punto positivo $y$-coordinar es una vertical intervalo abierto. Vecindad de un punto con $y$-coordinar $0$ es un Euclidiana de la pelota.

$\tau$: Vecindad de un punto positivo $y$coordenada es igual que la del $\sigma$. Vecindad de un punto de $(x,0)$ es una vertical de tubo abierto en torno al punto, menos $\{x\}\times [r,1)$ algunos $r>0$.

$(X,\sigma)$ $(X,\tau)$ son fáciles de ver para ser Hausdorff (y más) y conectado localmente (todos los de la básica abierta conjuntos están conectados).

$\tau\neq \sigma$ obviamente.

$\tilde \tau=\tilde \sigma$: $\tilde \sigma \subseteq \tilde \tau$ debido a $\tau\subseteq \sigma$. Ahora vamos a $C\in \tilde \tau$. Si $C$ está contenida en una línea vertical, a continuación,$C\in \tilde \sigma$. De lo contrario, $C$ debe ser cerrado a la baja, es decir, si $(x,y)\in C$ $(x,z)\in C$ todos los $z<y$, y también se $C\cap [0,1]\times \{0\}$ debe estar conectado. De nuevo $C\in \tilde \sigma$.

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Nota: Estos espacios son ni un segundo contables ni separables, pero son probablemente metrizable, o muy cerca de todos modos.

Podemos reemplazar local de conexión con algo más, así que de $\tilde{\tau} = \tilde{\sigma}$, podemos deducir $\tau = \sigma$?

Me sugieren cambiar conectado localmente localmente conectado+métrica+compacto de Hausdorff (si tiene menos abrir sets, entonces conectado base significa más).