¿Si una función asigna una entrada a su inversa, es biyectiva?

Question

He leído en mi libro de texto que una función es una biyección si y sólo si tiene una inversa. ¿Es lo mismo decir un $f: X → X$ de la función es una biyección si $f(x) = x^{-1}$? Si $a = x$ y $b = x^{-1}$, entonces tengo que $f(a) = b$ y en esta situación $f(b) = a$. ¿Hacer $f$ su propia inversa y significa por lo tanto es biyectiva?

Answer 1

El problema deriva del hecho de que la palabra "inversa" tiene (al menos) dos significados. Uno de ellos describe la inversa de una función, de otro, el inverso de un número (o elemento de cierta estructura algebraica donde eso tiene sentido).

Estos significados son esencialmente diferentes a menos que usted se mueve de un nivel de abstracción, donde se "multiplique" funciones mediante la composición de ellos. Entonces pueden ocurrir en el mismo problema - con sus dos significados. Eso es exactamente lo que se encontró en el ejemplo y con permutaciones. Como @DustanLevenstein señala que la función de permutaciones permutaciones que asigna a cada permutación su inversa (como una permutación pensado como una función) tiene una inversa (como función).

(Este es un buen principiante pregunta.)

Answer 2

Creo que tu libro de texto significa $f\colon A\to B$ biyectiva si existe una función de otra manera, decir $g\colon B\to A$, que $g\circ f=\operatorname{id}_A$ y $f\circ g=\operatorname{id}_B$.

Answer 3

Su $x^{-1}$ es un ejemplo de una función con una relación inversa y por lo tanto puede ser un bijection pero ese no es el significado de tener una inversa, o la notación.

Tener una inversa significa que existe otra función que invierte la función de $f$, por lo que la inversa de a$x+1$$x-1$. La inversa de a$2x$$x/2$. La notación correcta para decir que existe una inversa de a $f$ es este: $\exists f^{-1}(x)$

Por casualidad, su función $x^{-1}$ es inusual, ya que es su propio inverso, es decir, aplicar dos veces y llegar de nuevo al punto de partida. Esto está escrito $f^{-1}(x)=f(x)=x^{-1}$. Que tipo de función es llamada una involución, pero esto es una distracción, no es fundamental para la comprensión de bijections.

Un bijective función significa que usted debe definir el dominio y el rango, y la función y su inversa mapa de cada elemento de uno a exactamente un elemento de la otra, con ninguno de los miembros de cualquiera de espacio no asignado. Así, por ejemplo, la función de $x+1$ es bijective de los enteros a enteros debido a que cada entero es asignado a otro, sin excepción. Su inversa es $x-1$.